Dreidimensionale Formen: Polyeder, gekrümmte Körper und Oberfläche

Siehe auch: Eigenschaften von Polygonen

Diese Seite untersucht die Eigenschaften dreidimensionaler oder fester Formen.

Eine zweidimensionale Form hat Länge und Breite. Eine dreidimensionale feste Form hat auch Tiefe. Dreidimensionale Formen haben von Natur aus ein Inneres und ein Äußeres, die durch eine Oberfläche getrennt sind. Alle physischen Gegenstände, Dinge, die Sie berühren können, sind dreidimensional.

Diese Seite behandelt sowohl geradlinige Körper, sogenannte Polyeder, die auf Polygonen basieren, als auch Körper mit Kurven, wie z. B. Globen, Zylinder und Kegel.




Polyeder

Polyeder (oder Polyeder) sind geradlinige feste Formen. Polyeder basieren auf Polygonen, zweidimensionalen Ebenenformen mit geraden Linien.

Siehe unsere Seite Eigenschaften von Polygonen Weitere Informationen zum Arbeiten mit Polygonen.

Polyeder sind definiert als:

  • Gerade Kanten .
  • Flache Seiten genannt Gesichter .
  • Ecken, genannt Eckpunkte .

Polyeder werden häufig auch durch die Anzahl der Kanten, Flächen und Scheitelpunkte definiert, die sie haben, sowie durch die Frage, ob ihre Flächen alle dieselbe Form und Größe haben. Wie Polygone können Polyeder regelmäßig (basierend auf regulären Polygonen) oder unregelmäßig (basierend auf unregelmäßigen Polygonen) sein. Polyeder können auch konkav oder konvex sein.



Eines der grundlegendsten und bekanntesten Polyeder ist der Würfel. Ein Würfel ist ein reguläres Polyeder mit sechs quadratischen Flächen, 12 Kanten und acht Eckpunkten.


Eigenschaften grundlegender Polyeder. Regelmäßige Polyeder, Prismen und Pyramiden.

Regelmäßige Polyeder (platonische Festkörper)

Die Fünf regelmäßige Feststoffe sind eine spezielle Klasse von Polyedern, deren Flächen alle identisch sind, wobei jede Fläche ein reguläres Polygon ist. Die platonischen Feststoffe sind:

  • Tetraeder mit vier gleichseitigen Dreiecksflächen.
  • Würfel mit sechs quadratischen Flächen.
  • Oktaeder mit acht gleichseitigen Dreiecksflächen.
  • Dodekaeder mit zwölf Fünfeckflächen.
  • Ikosaeder mit zwanzig gleichseitigen Dreiecksflächen.
In der obigen Abbildung finden Sie eine Darstellung jedes dieser regulären Polyeder.

Was ist ein Prisma?

ZU Prisma ist jedes Polyeder, das zwei hat passende Enden und flache Seiten . Wenn Sie ein Prisma irgendwo entlang seiner Länge parallel zu einem Ende schneiden, ist sein Querschnitt gleich - Sie würden zwei Prismen erhalten. Die Seiten eines Prismas sind Parallelogramme - vierseitige Formen mit zwei gleich langen Seitenpaaren.



Antiprismen sind ähnlich wie normale Prismen, ihre Enden stimmen überein. Die Seiten der Antiprismen bestehen jedoch aus Dreiecken und nicht aus Parallelogrammen. Antiprismen können sehr komplex werden.

Was ist eine Pyramide?

Eine Pyramide ist ein Polyeder mit einem Polygonbasis das verbindet sich mit einem Apex (oberster Punkt) mit geraden Seiten.

Obwohl wir eher an Pyramiden mit quadratischer Basis denken, wie sie die alten Ägypter gebaut haben, können sie tatsächlich jede regelmäßige oder unregelmäßige Polygonbasis haben. Darüber hinaus kann eine Pyramide eine Spitze in der direkten Mitte ihrer Basis haben, a Rechte Pyramide , oder kann die Spitze außermittig haben, wenn es sich um eine handelt Schräge Pyramide .

Archimedischer Festkörper - abgeschnittener Würfel

Komplexere Polyeder



Es gibt viele weitere Arten von Polyedern: symmetrisch und asymmetrisch, konkav und konvex.

Archimedische Feststoffe, bestehen beispielsweise aus mindestens zwei verschiedenen regulären Polygonen.

Der abgeschnittene Würfel (wie abgebildet) ist ein archimedischer Körper mit 14 Flächen. 6 der Flächen sind regelmäßige Achtecke und die anderen 8 sind regelmäßige (gleichseitige) Dreiecke. Die Form hat 36 Kanten und 24 Eckpunkte.


Dreidimensionale Formen mit Kurven

Feste Formen mit einer gekrümmten oder runden Kante sind keine Polyeder. Polyeder können nur gerade Seiten haben.

Viele der Objekte um Sie herum enthalten mindestens einige Kurven. In der Geometrie sind die häufigsten gekrümmten Körper Zylinder, Kegel, Kugeln und Tori (der Plural für Torus).

Gemeinsame dreidimensionale Formen mit Kurven:
Zylinder Kegel
Zylinder Kegel
Ein Zylinder hat von einem Ende zum anderen den gleichen Querschnitt. Zylinder haben zwei identische Enden eines Kreises oder eines Ovals. Obwohl ähnlich, sind Zylinder keine Prismen, da ein Prisma (per Definition) Parallelogramm, flache Seiten hat. Ein Kegel hat eine kreisförmige oder ovale Basis und eine Spitze (oder einen Scheitelpunkt). Die Seite des Kegels verjüngt sich glatt zur Spitze. Ein Kegel ähnelt einer Pyramide, unterscheidet sich jedoch dadurch, dass ein Kegel eine einzelne gekrümmte Seite und eine kreisförmige Basis hat.
Kugel Torus
Kugel Torus
Eine Kugel hat die Form einer Kugel oder eines Globus und ist ein vollständig rundes Objekt. Jeder Punkt auf der Oberfläche einer Kugel ist gleich weit vom Mittelpunkt der Kugel entfernt. Ein regelmäßiger Ring-Torus, der wie ein Ring, ein Reifen oder ein Donut geformt ist, wird gebildet, indem ein kleinerer Kreis um einen größeren Kreis gedreht wird. Es gibt auch komplexere Formen von Tori.

Oberfläche

Unsere Seite auf Fläche berechnen erklärt, wie man den Bereich zweidimensionaler Formen berechnet, und Sie müssen diese Grundlagen verstehen, um die Oberfläche dreidimensionaler Formen zu berechnen.

Für dreidimensionale Formen sprechen wir über Oberfläche , um Verwirrung zu vermeiden.

Sie können Ihr Wissen über die Fläche zweidimensionaler Formen nutzen, um die Oberfläche einer dreidimensionalen Form zu berechnen, da jede Fläche oder Seite effektiv eine zweidimensionale Form ist.

Sie berechnen daher den Bereich jedes Gesichts und addieren sie dann.



Wie bei flachen Formen wird die Oberfläche eines Festkörpers in quadratischen Einheiten ausgedrückt: cmzwei, Zollzweimzweiund so weiter. Weitere Details zu Maßeinheiten finden Sie auf unserer Seite Messsysteme .

Beispiele für Oberflächenberechnungen

Oberfläche eines Würfels

Würfel

Das Oberfläche eines Würfels ist die Fläche einer Fläche (Länge x Breite) multipliziert mit 6, da alle sechs Flächen gleich sind.

Da die Fläche eines Würfels ein Quadrat ist, müssen Sie nur eine Messung durchführen - Länge und Breite eines Quadrats sind per Definition gleich.

Eine Seite dieses Würfels ist daher 10 × 10 cm = 100 cmzwei. Multiplizieren Sie die Anzahl der Flächen auf einem Würfel mit 6, und wir stellen fest, dass die Oberfläche dieses Würfels 600 cm beträgtzwei.

Andere reguläre Polyeder

In ähnlicher Weise kann die Oberfläche der anderen regulären Polyeder (platonische Festkörper) berechnet werden, indem die Fläche einer Seite ermittelt und die Antwort mit der Gesamtzahl der Seiten multipliziert wird - siehe das obige Diagramm der Basispolyeder.

Wenn die Fläche eines Fünfecks, aus dem ein Dodekaeder besteht, 22 cm beträgtzweiDann multiplizieren Sie dies mit der Gesamtzahl der Seiten (12), um die Antwort 264 cm zu erhaltenzwei.


Pyramide

Um die zu berechnen Oberfläche einer Standardpyramide mit vier gleichen dreieckigen Seiten und einer quadratischen Basis:

Berechnen Sie zuerst den Bereich der Basislänge (Quadrat) × Breite.

Berechnen Sie als nächstes den Bereich einer Seite (Dreieck). Messen Sie die Breite entlang der Basis und dann die Höhe des Dreiecks (auch als Schräglänge bezeichnet) vom Mittelpunkt der Basis bis zur Spitze.

Sie können dann entweder Ihre Antwort durch 2 teilen, um die Oberfläche eines Dreiecks zu erhalten, und dann mit 4 multiplizieren, um die Oberfläche aller vier Seiten zu erhalten, oder einfach die Oberfläche eines Dreiecks mit 2 multiplizieren.

Fügen Sie schließlich die Fläche der Basis und der Seiten zusammen, um die Gesamtfläche der Pyramide zu ermitteln.

Um die zu berechnen Oberfläche anderer Pyramidentypen, Addieren Sie den Bereich der Basis (als Basisbereich bezeichnet) und den Bereich der Seiten (seitlicher Bereich). Möglicherweise müssen Sie die Seiten einzeln messen.

Formel für die Fläche eines Rechtecks

Netzdiagramme

Ein geometrisches Netz ist ein zweidimensionales 'Muster' für ein dreidimensionales Objekt. Netze können hilfreich sein, wenn Sie die Oberfläche eines dreidimensionalen Objekts berechnen. In der folgenden Abbildung sehen Sie, wie grundlegende Pyramiden aufgebaut sind. Wenn die Pyramide 'entfaltet' ist, bleibt Ihnen das Netz.

Pyramidennetze

Weitere Informationen zu Netzdiagrammen finden Sie auf unserer Seite 3D-Formen und Netze .


Oberfläche eines Prismas

Prisma

Um die zu berechnen Oberfläche eines Prismas ::

Prismen haben zwei gleiche Enden und flache Parallelogrammseiten.

Berechnen Sie die Fläche eines Endes und multiplizieren Sie mit 2.

Berechnen Sie für ein reguläres Prisma (bei dem alle Seiten gleich sind) die Fläche einer der Seiten und multiplizieren Sie sie mit der Gesamtzahl der Seiten.

Berechnen Sie für unregelmäßige Prismen (mit unterschiedlichen Seiten) die Fläche jeder Seite.

Addieren Sie Ihre beiden Antworten (Enden × Seiten), um die Gesamtoberfläche des Prismas zu ermitteln.


Zylinder

Oberfläche eines Zylinders

Beispiel:
Radius = 5 cm
Höhe = 10 cm

Um die zu berechnen Oberfläche eines Zylinders Es ist nützlich, über die Bestandteile der Form nachzudenken. Stellen Sie sich eine Dose Zuckermais vor - sie hat eine Oberseite und eine Unterseite, die beide Kreise sind. Wenn Sie die Seite entlang ihrer Länge schneiden und abflachen, erhalten Sie ein Rechteck. Sie müssen daher die Fläche von zwei Kreisen und einem Rechteck finden.

Erarbeiten Sie zuerst den Bereich eines der Kreise.

Die Fläche eines Kreises ist π (pi) × Radiuszwei.

Bei einem Radius von 5 cm beträgt die Fläche eines der Kreise 3,14 × 5zwei= 78,5 cmzwei.

Multiplizieren Sie die Antwort mit 2, da es zwei Kreise von 157 cm gibtzwei

Die Fläche der Seite des Zylinders ist der Umfang des Kreises × die Höhe des Zylinders.

Der Umfang entspricht π x 2 × Radius. In unserem Beispiel ist 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Messen Sie die Höhe des Zylinders - in diesem Beispiel beträgt die Höhe 10 cm. Die Oberfläche der Seite beträgt 31,4 × 10 = 314 cmzwei.

Die Gesamtfläche kann durch Addition der Fläche der Kreise und der Seite ermittelt werden:

157 + 314 = 471 cmzwei


Berechnen Sie die Oberfläche eines Kegels.

Beispiel:
Radius = 5 cm
Schräglänge = 10cm

Kegel

Bei der Berechnung der Oberfläche eines Kegels Sie müssen die Länge der Schräge sowie den Radius der Basis verwenden.

Es ist jedoch relativ einfach zu berechnen:

Die Fläche des Kreises an der Basis des Kegels beträgt π (pi) × Radiuszwei.

In diesem Beispiel beträgt die Summe 3,14 × 5zwei= 3,14 × 25 = 78,5 cmzwei

Der Bereich der Seite, der abfallende Abschnitt, kann mit dieser Formel ermittelt werden:

π (pi) × Radius × Länge der Neigung.

In unserem Beispiel beträgt die Summe 3,14 × 5 × 10 = 157 cmzwei.

Fügen Sie schließlich die Grundfläche zum Seitenbereich hinzu, um die Gesamtoberfläche des Kegels zu erhalten.

78,5 + 157 = 235,5 cmzwei


Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel.

Tennis Ball:
Durchmesser = 2,6 Zoll

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Kugel

Das Oberfläche einer Kugel ist eine relativ einfache Erweiterung der Formel für die Fläche eines Kreises.

4 × π × Radiuszwei.

Bei einer Kugel ist es oft einfacher, den Durchmesser zu messen - den Abstand über die Kugel. Sie können dann den Radius finden, der die Hälfte des Durchmessers beträgt.

Der Durchmesser eines Standard-Tennisballs beträgt 2,6 Zoll. Der Radius beträgt daher 1,3 Zoll. Für die Formel benötigen wir den quadratischen Radius. 1,3 × 1,3 = 1,69.

Die Oberfläche eines Tennisballs ist daher:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 Zollzwei.


Berechnen Sie die Oberfläche eines Torus.

Beispiel:
R (großer Radius) = 20 cm
r (kleiner Radius) = 4 cm

Torus

Um die zu berechnen Oberfläche eines Torus Sie müssen zwei Radiuswerte finden.

Der große oder große Radius (R) wird von der Mitte des Lochs bis zur Mitte des Rings gemessen.

Der kleine oder kleine Radius (r) wird von der Mitte des Rings bis zur Außenkante gemessen.

Das Diagramm zeigt zwei Ansichten eines Beispiel-Torus und wie seine Radien (oder Radien) gemessen werden.

Die Berechnung zum Ermitteln der Oberfläche besteht aus zwei Teilen (einem für jeden Radius). Die Berechnung ist für jedes Teil gleich.

Die Formel lautet: Oberfläche = (2πR) (2πr)

Berechnung der Oberfläche des Beispieltorus.

(2 × π × R) = (2 × 3,14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Multiplizieren Sie die beiden Antworten, um die Gesamtoberfläche des Beispieltorus zu ermitteln.

125,6 × 25,12 = 3155,072 cmzwei.


Füllen eines Volumenkörpers: Volumen

Bei dreidimensionalen Formen müssen Sie möglicherweise auch wissen, wie viel Volumen Sie haben.

Mit anderen Worten, wenn Sie sie mit Wasser oder Luft füllen würden, wie viel Füllung würden Sie benötigen?

Dies wird auf unserer Seite behandelt Volumen berechnen .

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Fläche berechnen
3D-Formen und Netze