Simultane und quadratische Gleichungen

Fortsetzung von: Einführung in die Algebra

Unsere Seite Einführung in die Algebra erklärt, wie man einfache Gleichungen mit grundlegender Algebra löst.

Auf dieser Seite werden komplexere Gleichungen, einschließlich solcher mit Brüchen, und zwei besondere Probleme erläutert, auf die Sie möglicherweise stoßen: simultane Gleichungen und quadratische Gleichungen.

Am wichtigsten ist, dass klargestellt wird, dass diese Gleichungen wie andere den Regeln entsprechen und dass Sie sie weiterhin manipulieren können, solange Sie daran denken, auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe zu tun.



Klammern in der Algebra

In algebraischen Gleichungen stoßen Sie häufig auf Begriffe in Klammern. Um die Gleichung zu lösen, müssen Sie möglicherweise erweitern die Klammern. Dies bedeutet, dass wir den Ausdruck durcharbeiten und die Klammern nach einigen Regeln auf logische Weise entfernen müssen.



Wenn Ihre Gleichung nur einen einzigen Satz von Klammern enthält, ist der Vorgang unkompliziert. Zum Beispiel:

$$ 4 (x - 2) = 18 $$

In diesem Fall wird alles in den Klammern auf der linken Seite der Gleichung mit 4 multipliziert. Erweitern Sie zunächst die Klammern Term für Term:

$$ 4x - 8 = 18 $$

Jetzt können Sie die Gleichung für (x ) lösen. Als nächstes fügen Sie jeder Seite 8 hinzu:

$$ 4x = 26 $$



Teilen Sie schließlich jede Seite durch 4:

$$ x = 6,5 $$

Wenn Ihre Gleichung zwei Sätze von Klammern (oder mehr) enthält, die miteinander multipliziert werden müssen, ist der Prozess komplizierter, folgt jedoch einem logischen Satz von Regeln.

Erweitern Sie beispielsweise den Ausdruck:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$



Auf der linken Seite der Gleichung müssen wir (2 (x ) + 5) mit ( (x ) + 4) multiplizieren. Jeder Satz von Klammern enthält mehr als einen Begriff. Es geht nicht einfach darum, einen Satz von Klammern mit a zu multiplizieren Koeffizient wie im vorherigen Beispiel, in dem Sie die gesamte Klammer mit 4 multipliziert haben.

In diesem Fall müssen Sie jeden Term in der ersten Klammer mit jedem Term in der zweiten Klammer multiplizieren und alle addieren, dh (x ) mit (x ), (x ) mit 4 multiplizieren , dann (x ) um 5, dann 4 um 5. Es scheint ziemlich kompliziert zu sein, so dass Sie eine Methode verwenden können, die als bekannt ist 'VEREITELN' helfen.

FOIL-Methode zum Lösen von Gleichungen. Zuerst außen, innen, zuletzt.

FOIL steht für F. zuerst ODER Gebärmutter ich nner L. ast.

ZUERST: 2 (x ) × (x ) = 2 (x )zwei



AUSSEN: 2 (x ) × 4 = 8 (x )

INNEN: 5 × (x ) = 5 (x )

LETZT: 5 × 4 = 20

Der nächste Schritt besteht darin, diese zu addieren:

2 (x )zwei+ 8 (x ) + 5 (x ) + 20 ist dasselbe wie 2 (x )zwei+ 13 (x ) + 20.

Die ursprüngliche Gleichung (2 (x ) + 5) ( (x ) + 4) = 0 lautet also:

$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$

Diese Art von Gleichung ist bekannt als quadratische Gleichung . Es gibt mehr dazu weiter unten.

Gleichungen mit Brüchen

Gleichungen mit Brüchen sehen etwas entmutigend aus, aber es gibt einen einfachen Trick, um sie leichter zu lösen.

Kritisches Zuhören ist, wenn Zuhörer ________.

Kreuzmultiplikation beinhaltet das Entfernen der Brüche, indem beide Seiten nacheinander mit jedem Nenner multipliziert werden. Weitere Informationen zum Arbeiten mit Brüchen finden Sie auf unserer Seite unter Brüche .

Gearbeitetes Beispiel


$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$

Um die Brüche zu entfernen, multiplizieren Sie nacheinander beide Seiten der Gleichung mit jedem Nenner (3 und 5).
Beginnen Sie, indem Sie jede Seite mit 3 multiplizieren:

$$ frac {3 (2 + x)} {3} = frac {3 (9 + x)} {5} $$

Links heben sich die beiden 3er auf und lassen 2 + (x ) übrig.
Erweitern Sie rechts die Klammern im Zähler, um 27 + 3 (x ) zu erhalten.

$$ 2 + x = frac {27 + 3x} {5} $$

Multiplizieren Sie nun beide Seiten mit 5. Wiederum heben sich die beiden 5er rechts auf und Sie erhalten:

$$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$ $$ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Ordnen Sie die Gleichung so an, dass Begriffe, die (x ) enthalten, links und Begriffe, die nur Zahlen enthalten, rechts stehen. Subtrahieren Sie zuerst 10 von jeder Seite:

$$ 5x = 17 + 3x $$

Dann subtrahieren Sie 3 (x ) von jeder Seite, um alle (x ) -Werte auf der linken Seite zu erhalten, und Sie erhalten:

$$ 2x = 17 $$

Wenn Sie schließlich beide Seiten durch 2 teilen, erhalten Sie den Wert von (x ):

$$ x = 8,5 $$

Beachten Sie, dass (x ) nicht immer eine ganze Zahl sein muss.



Simultangleichungen

Bisher enthielten alle Beispiele nur eine 'unbekannte' Variable, (x ). Wir können diese Gleichungen mit Algebra lösen, um den Wert von (x ) zu ermitteln. Wenn Sie eine unbekannte haben, brauchen Sie nur eine Gleichung zu lösen, um die Antwort zu erhalten.

Was passiert jedoch, wenn Sie eine Gleichung wie (y ) = 4 (x ) + 5 haben, wo es gibt zwei Unbekannte , (x ) und (y )?

Möglicherweise stoßen Sie sogar auf eine komplexere Gleichung, in der Sie drei Unbekannte haben: (x ), (y ) und (z ).

Um diese zu lösen, benötigen Sie in der Regel die gleiche Anzahl von Gleichungen wie Unbekannte. Alle Gleichungen müssen für alle Unbekannten zutreffen. Dies bedeutet, dass Sie zwei Gleichungen für zwei Unbekannte, drei Gleichungen für drei Unbekannte usw. benötigen.

Gleichzeitige Gleichungen sind ein Satz von zwei Gleichungen, die beide dieselben unbekannten Variablen beinhalten, die beide wahr sind. Sie werden als bezeichnet gleichzeitig weil sie zusammen gelöst werden.

Gleichzeitige Gleichungen werden manchmal durch eine lange geschweifte Klammer angezeigt, um sie miteinander zu verbinden.

Die Methode zum Lösen simultaner Gleichungen mit den Variablen (x ) und (y ) lautet:

  • Ordnen Sie zuerst eine Gleichung neu an, um einen Ausdruck oder einen Wert für (x ) zu erhalten. Die neu angeordnete Gleichung kann (x ) = eine Zahl sein, oder es kann ein Ausdruck sein, bei dem (x ) = eine Funktion von (y ) (dh (y ) noch als unbekannt in der Gleichung existiert ). Möglicherweise wird dies als (x ) = ƒ ( (y )) geschrieben, was einfach bedeutet, dass (x ) eine Funktion von (y ) ist.

  • Sobald Sie einen Wert oder einen Ausdruck für (x ) haben, können Sie ihn in die andere Gleichung einsetzen, um den Wert von (y ) zu ermitteln. Diese neue Gleichung hat nur eine unbekannte, (y ).

  • Schließlich, wenn Ihre Antwort (x ) =? ab Schritt (1) enthält ' (y )', dann können Sie Ihren Wert von (y ) aus Schritt (2) in Ihren Ausdruck für (x ) einsetzen, um den Wert von (x zu ermitteln) ).

Arbeitsbeispiel 1: Wenn x in Schritt 1 als Wert gelöst werden kann.

$$ biggl { begin {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 end {eqnarray} $$

Wenn 2 (x ) = 6 ist, dann ( boldsymbol {x} ) = 3 .

Indem Sie in der zweiten Gleichung (x ) durch 3 ersetzen, können Sie es lösen, um herauszufinden, was (y ) ist.

$$ y = (4 mal 3) + 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$


Arbeitsbeispiel 2: Wenn Schritt 1 (x = ƒ (y) ) ergibt

$$ biggl { begin {eqnarray} x - y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 end {eqnarray} $$

Schritt 1 : Wenn (x ) & minus; (y ) = 1, dann (x ) = 1 + (y )

Schritt 2 : Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt 2 (1 + (y )) + 3 (y ) = 27

Das Erweitern der Klammern ergibt 2 + 2 (y ) + 3 (y ) = 27

Dann ist 2 + 5 (y ) = 27

Also 5 (y ) = 25, was die Lösung ergibt ( boldsymbol {y} ) = 5.

Schritt 3 : Wir wissen also, dass (x ) - (y ) = 1 ist ( boldsymbol {x} ) = 6.


Quadratische Gleichungen

Eine Gleichung in der Form (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) heißt a quadratische Gleichung .

( boldsymbol {a} ), ( boldsymbol {b} ) und ( boldsymbol {c} ) sind alle Zahlen und können in jeder gegebenen Gleichung alle gleich oder unterschiedlich sein. Sie können auch negativ oder positiv sein.

Beispiele für quadratische Gleichungen sind:

  1. ( boldsymbol {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ). In dieser Gleichung ist (a ) = 2, (b ) = 5 und (c ) = 10.

  2. ( boldsymbol {3x ^ 2 - 3x + 9 = 0} ). In dieser Gleichung ist (a ) = 3, (b ) = -3 und (c ) = 9.

  3. ( boldsymbol {52x ^ 2 + x} ) & minus; ( boldsymbol {45 = 0} ). In dieser Gleichung ist (a ) = 52, (b ) = 1 und (c ) = & minus; 45.

Parabolische Kurven und quadratische Gleichungen


Quadratische Gleichungen sind in Mathematik und Naturwissenschaften sehr wichtig. Sie sind die mathematische „Beschreibung“ einer Parabelkurve (Parabel). Weitere Informationen zu Parabeln und anderen gekrümmten Formen, die als konische Abschnitte bezeichnet werden, finden Sie auf unserer Seite unter Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln . Die Werte von (a ), (b ) und (c ) in der quadratischen Gleichung beschreiben die Form der Kurve und wo sie innerhalb eines Satzes kartesischer Koordinaten (x- und y-Achse) positioniert ist. Weitere Informationen finden Sie auf unserer Seite unter Kartesischen Koordinaten .

Eine Parabel aus einer quadratischen Gleichung mit (a ) = 1, (b ) = −4 und (c ) = 5 sieht folgendermaßen aus:

Eine Parabel aus einer quadratischen Gleichung mit a = 1, b = -4 und c = 5.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Gleichungen zu lösen:

1. Durch Faktorisierung

In Mathematik, Faktoren sind Dinge, die miteinander multipliziert werden. Faktorisierung ist ein Prozess, mit dem zwei erstellt werden Faktoren aus dem quadratischen Ausdruck, der miteinander multipliziert werden kann. Diese Faktoren sind Sätze von Klammern mit einem einfachen linearen Ausdruck, der (x ) in jedem enthält.

Sie erstellen eine quadratische Gleichung, indem Sie zwei Ausdrücke in Klammern ( (x ) + eine Zahl) ( (x ) + eine andere Zahl) multiplizieren. Das bedeutet, dass jeder das hat eine lösung kann in dieser zweiköpfigen Form geschrieben werden.

Dies ist das Gegenteil der oben beschriebenen FOIL-Methode zum Erweitern von Klammern. Das Erweitern von zwei Sätzen von Klammern, die miteinander multipliziert werden, ergibt:

$$ boldsymbol {(x + m) (x + n) = x ^ 2 + (m + n) x + mn} $$

Dies bedeutet, dass Sie, wenn Sie eine Gleichung in der Form (x ^ 2 + bx + c ) haben, nach zwei Zahlen suchen, sodass Sie beim Multiplizieren (c ) erhalten und wenn sie addiert werden, erhalten Sie (b ). Normalerweise können Sie sofort sehen, ob diese als ganze Zahlen existieren.

Nur die einfachsten quadratischen Gleichungen können leicht faktorisiert werden. Wenn Sie es nach einigen Minuten nicht durch Faktorisierung lösen konnten, versuchen Sie es am besten mit einer anderen Methode.

Gearbeitetes Beispiel


$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$

Sie wissen, dass 4 × 5 = 20 und 4 + 5 = 9 ist.

Die beiden Klammern sind daher ( (x ) + 4) ( (x ) + 5).

Dieser Ausdruck muss gleich Null sein, also entweder (x ) + 4 = 0 oder (x ) + 5 = 0.

Die zwei Lösungen der Gleichung sind ( boldsymbol {x} ) = -4 und ( boldsymbol {x} ) = -5 .

wie man nicht so gestresst ist

Warum gibt es zwei Lösungen für eine quadratische Gleichung?


Weil der Graph die Form einer Parabel hat.

Unten ist der Graph der Gleichung, die im obigen Beispiel verwendet wird (y ) = (x )zwei+ 9 (x ) + 20.

Die beiden Werte von (x ) sind als Wurzeln der Gleichung bekannt. Dies sind die Werte von (x ), wenn (y ) = 0. In der Grafik ist (y ) = 0 auf der x-Achse. Die Punkte (x ) = –4 und (x ) = –5 sind daher dort, wo die Kurve der Gleichung die x-Achse kreuzt. Der Minimalwert von (y ) (der niedrigste Punkt der Kurve) liegt zwischen (x ) = –4 und (x ) = –5. In diesem Diagramm ist nur die Kurve zu sehen, die unter die x-Achse fällt.

Wenn wir die Gleichung noch einmal betrachten, wenn (x ) = 0, dann (y ) = 20. In der Grafik können wir sehen, dass die Kurve die y-Achse ( (x ) = 0) bei + kreuzt 20. Dies ist als y-Achsenabschnitt bekannt und ist immer der Wert von (c ) in einer quadratischen Gleichung.

Graph der Gleichung y = x ^ 2 + 9x + 20

2. Verwenden einer Formel

Wenn die beiden Faktoren nicht offensichtlich sind, besteht der nächste Schritt darin, eine Formel zu verwenden. Alle quadratischen Gleichungen, die gelöst werden können, geben eine Antwort mit der Formel:

$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$

In diesem Fall ist (a ) der Koeffizient von (x )zwei, (b ) von (x ) und (c ) ist die Zahl am Ende, wenn die Gleichung die Form (ax ) hat.zwei+ (bx ) + (c ) = 0.

Jede Gleichung, die hat nur Begriffe mit (x )zwei, (x ) und Zahlen können in die Form (ax ) umgewandelt werden.zwei+ (bx ) + (c ) = 0 und dann mit der Formel gelöst.

Da Sie (b ) plus oder minus der Quadratwurzel haben können, haben quadratische Gleichungen immer zwei Lösungen, wie im obigen Infobox gezeigt. Sie werden die Wurzeln der Gleichung genannt, und der Grund dafür ist offensichtlicher, wenn wir uns die Formel (( pm sqrt) ) ansehen.

Es ist wichtig zu bedenken, dass einige quadratische Gleichungen keine „echte“ Antwort haben.

Zum Beispiel, wenn (b )zwei&Minus; 4 (ac ) ist negativ, dann gibt es keine wirkliche Antwort, da Sie keine Quadratwurzel einer Minuszahl haben können, außer in Form einer imaginären Zahl (mehr über imaginäre Zahlen finden Sie auf unserer Seite auf spezielle Zahlen und Konzepte ).


3. Vervollständigen Sie den Platz

Wenn Ihre quadratische Gleichung nicht faktorisiert werden kann, ist eine Alternative zur Verwendung der Formel eine Methode namens das Quadrat vervollständigen . Es ist möglicherweise die schwierigste der Methoden zu verstehen. Sie müssen die Gleichung neu anordnen, damit sie zu einem perfektes quadratisches Trinom ’(Ein Trinom ist ein mathematischer Ausdruck mit drei Begriffen).

Das klingt sehr kompliziert, aber es ist nur 'mathematisch' zu sagen, dass Sie diese Methode verwenden können, um eine quadratische Gleichung von einer nicht faktorisierten in eine faktorisierte Gleichung umzuwandeln, und Sie können die Lösung durch Berechnung finden seine Quadratwurzel.

Diese Methode funktioniert nur für (ax )zwei+ (bx ) + (c ) = 0 wenn (a ) = 1. Wenn (b ) gerade ist, dann noch besser.

Um die Gleichung zu lösen, müssen wir einen anderen Ausdruck einführen:

$$ (x + frac b2) ^ 2 + c $$

Dieser Ausdruck kann erweitert werden, um zu geben

$$ x ^ 2 + bx + left ( frac b2 right) ^ 2 + c $$

Dies ist das gleiche wie die ursprüngliche quadratische Gleichung, jedoch mit einem zusätzlichen Term (( frac b2) ^ 2 ).

Die ursprüngliche Gleichung kann daher als neuer Ausdruck abzüglich des zusätzlichen Ausdrucks umgeschrieben werden:

$$ (x + frac b2) ^ 2 - left ( frac b2 right) ^ 2 + c = 0 $$

Das Umordnen dieser neuen Gleichung ergibt

$$ (x + frac b2) ^ 2 = -c left ( frac b2 right) ^ 2 $$

Dies kann gelöst werden, indem die Quadratwurzel jeder Seite gezogen wird.

Folgende Beispiel gearbeitet macht diese Methode leichter verständlich:

Finden Sie die Werte von ( boldsymbol {x} ), wenn ( boldsymbol {x} )zwei&Minus; 18 ( boldsymbol {x} ) + 72 = 0

Zuerst vervollständigen Sie das Quadrat, indem Sie jeder Seite (( frac b2) ^ 2 ) hinzufügen.

In diesem Fall ist dieser zusätzliche Term ((18 ÷ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 )

$$ x ^ 2 - 18x + 81 = -72 + 81 $$

Als nächstes faktorisieren Sie die linke Seite:

$$ (x - 9) (x - 9) = 9 $$

Dies ist das gleiche wie

$$ (x - 9) ^ 2 = 9 $$

Sie können sehen, dass mit dieser Methode die linke Seite der ursprünglichen Gleichung in a konvertiert wurde perfektes quadratisches Trinom . Dies kann gelöst werden, indem man die Wurzeln schlägt:

$$ x - 9 = pm sqrt {9} $$ $$ x = 9 pm 3 $$

Fazit

Nachdem Sie diese Seite gelesen und den Beispielen gefolgt sind, sollten Sie sich jetzt sicherer fühlen, dass Sie auch mit recht komplexen Gleichungen umgehen können.

Denken Sie nur an die goldene Regel:

Machen Sie immer das Gleiche mit jeder Seite der Gleichung

Wenn Sie dies tun, wird es Ihnen gut gehen.


Weiter:
Einfache statistische Analyse
Mengenlehre