Einfache Mengenlehre

Siehe auch: Einfache statistische Analyse

Ein Set ist eine Sammlung von Objekten, nicht mehr und nicht weniger.

Es klingt einfach, aber die Mengenlehre ist einer der Grundbausteine ​​für die höhere Mathematik, daher hilft es, die Grundlagen gut zu verstehen.

Diese Seite beschreibt die Prinzipien von Mengen und die darin enthaltenen Elemente. Außerdem werden Operationen mit Sets erläutert.



was bedeutet es bescheiden zu bleiben

Die Sprache der Mengen: Einige Definitionen

Leider hat die Mengenlehre wie einige andere Bereiche der Mathematik eine eigene Sprache, die Sie verstehen müssen. Hier sind einige nützliche Begriffe und Definitionen:

  • ZU einstellen ist eine Sammlung von Objekten, die etwas gemeinsam haben. Ein Set können beispielsweise Primzahlen, Vögel, die in Ihren Garten kommen, oder Personen sein, an die Sie in den letzten fünf Jahren Weihnachtskarten gesendet haben.



  • Das Elemente eines Satzes sind die Dinge darin, wie Primzahlen, Vögel oder Menschen wie in den obigen Beispielen. Sie werden auch die genannt Mitglieder eines Satzes.

  • Das Symbol bedeutet 'ist ein Element von'. Zum Beispiel könnten Sie 2 ∈ A schreiben, was bedeuten würde, dass 2 ein Element von Menge A ist. Sie können auch schreiben , was bedeutet, 'ist kein Element von'.

  • Sie können auf zwei einfache Arten zeigen, dass sich etwas in einem Set befindet:

    • Mit Worten zum Beispiel 'Alle Vogelarten, die ich in meinem Garten gesehen habe' oder 'die Primzahlen zwischen 0 und 100'; und
    • Indem Sie eine Liste der Elemente in geschweifte Klammern setzen. Zum Beispiel könnte der Satz von Primzahlen zwischen 0 und 10 geschrieben werden {1, 2, 3, 5, 7}. Sie können auch eine Ellipse verwenden (drei Punkte '…', wenn Sie zu viele Zahlen schreiben müssten. Wenn Ihre Menge beispielsweise alle Zahlen zwischen 1 und 20 enthält, können Sie {1, 2, 3,… 20} schreiben. .



WARNUNG!


Wenn Sie eine Ellipse (mehrere Ellipsen) verwenden möchten, stellen Sie sicher, dass der Inhalt Ihres Satzes eindeutig ist. Wenn Ihr Satz beispielsweise jede dritte Zahl zwischen 1 und 50 wäre, würde es nicht ausreichen, {1… 50} zu schreiben, da dies auch jede Zahl zwischen 1 und 50 sein könnte.


  • Mengen werden normalerweise durch einen Großbuchstaben angezeigt, um sie von Variablen in zu unterscheiden Algebra , die normalerweise in Kleinbuchstaben geschrieben sind.

  • Sets können enthalten greifbar oder immateriell Elemente, vorausgesetzt, Sie definieren sie klar und eindeutig.

  • (Materielle Elemente sind physische Objekte wie Gebäude, Fahrzeuge oder Geräte. Immaterielle Elemente sind abstrakt und haben keine physische Präsenz wie Emotionen, Persönlichkeitsmerkmale oder Kundenmeinungen.)


  • Das Kardinalität einer Menge ist die Anzahl der Elemente, die eine Menge enthält.

  • Mengen, die dieselben Elemente enthalten, werden als solche bezeichnet gleich . Sie können auch sagen, dass sie sind Äquivalent oder identisch .

Mengen können immer noch identisch sein, selbst wenn eine zweimal dasselbe Element enthält: Die Gleichheit besteht darin, dieselben Bestandteile zu haben, nicht in den Mengen oder der Bestellung . So sind beispielsweise alle folgenden Sätze gleich:

A = Wochentage ohne Wochenenden

B = {Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag}

C = {Montag, Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Dienstag, Freitag}

  • Die Menge A, deren Elemente alle in einer anderen, größeren Menge B mit mehr Elementen enthalten sind, wird als a bezeichnet Teilmenge von B. Das Symbol bedeutet 'ist eine Teilmenge von'. In diesem Fall ist A ⊂ B ..



  • Das leeres Set hat überhaupt keine Elemente. Es steht geschrieben {} oder INSEL . Da alle leeren Mengen gleich sind, gibt es nur eine (mit anderen Worten, sie sind alle gleich). Es ist auch eine Teilmenge jeder anderen Menge auf der ganzen Welt!

  • Das Universal- setzen, oder U. , ist alles. Es ist jedoch spezifisch für ein bestimmtes Problem und nicht „alles auf der ganzen Welt“. Dies bedeutet, dass Sie beispielsweise die universelle Menge je nach Problem als 'alle Zahlen zwischen 1 und 100' oder 'alle Zahlen zwischen 1 und 10' definieren können.

    Regeln der mathematischen Multiplikation vor der Addition

Arbeiten mit Sets

So wie Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden können, gibt es vier grundlegende Operationen für Mengen:

Union, Kreuzung, relative Ergänzung und Ergänzung

Wir können jedes dieser Elemente anhand von drei Sätzen betrachten:

  • A = {1, 2, 4, 7}
  • B = {2, 5, 6, 8}
  • C = {5, 10, 15, 20}

Union

Union ist wie Hinzufügen. Die Vereinigung zweier Mengen sind ihre kombinierten Elemente, dh alle Elemente, die sich in befinden entweder einstellen. Das Symbol für Vereinigung ist .

A ∪ B = {1, 2, 4, 7} ∪ {2, 5, 6, 8} = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}

Merken!

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Wenn in beiden Sätzen dieselbe Nummer angezeigt wird, müssen Sie sie nur einmal in den Vereinigungssatz aufnehmen.

Die Vereinigung einer Menge mit sich selbst ist selbst, A ∪ A = A.

Die Vereinigung einer Menge mit der leeren Menge ist auch selbst A ∪ ∅ = A.

Überschneidung

Der Schnittpunkt zwischen zwei Mengen sind die Elemente, die sie gemeinsam haben. Das Symbol für die Kreuzung ist .

Verwenden Sie die drei oben genannten Sätze:

A ∩ B = {1, 2, 4, 7} ∩ {2, 5, 6, 8} = {2}

A ∩ C = {1, 2, 4, 7} ∩ {5, 10, 15, 20} = {}. Mit anderen Worten, es gibt keine gemeinsamen Elemente, daher ist der Schnittpunkt die leere Menge.

Relative Ergänzung

Wenn Vereinigung wie Hinzufügung ist, Das relative Komplement ist ein bisschen wie die Subtraktion. Das Symbol dafür ist das Minuszeichen, -.

Sie beginnen mit dem ersten Satz und nehmen jedes Element heraus, das auch im zweiten Satz erscheint.

WARNUNG!

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Sie erhalten NICHT alle Elemente, die nur in dem einen oder anderen enthalten sind!

Das umgekehrte Komplement sind NUR die Elemente der zuerst Satz, der NICHT auch im zweiten Satz enthalten ist.


A - B = {1, 2, 4, 7} - {2, 5, 6, 8} = {1, 4, 7}

B - A = {2, 5, 6, 8} - {1, 2, 4, 7} = {5, 6, 8}

In jedem Fall ist die einzige Zahl, die in beiden enthalten ist, 2, sodass dies die einzige Zahl ist, die aus dem ersten Satz entfernt wird.

Ergänzen

Die Ergänzung eines Sets ist alles, was nicht darin enthalten ist. Hier kommt das universelle Set ins Spiel, denn das Komplement ist U (das universelle Set) - das Set, mit dem Sie arbeiten.

Das Symbol für Komplement ist ', also würden Sie A' oder B 'für die obigen Sätze schreiben.

Komplement und umgekehrte Komplement


Sowohl das Komplement als auch das umgekehrte Komplement sind der Subtraktion ABER sehr ähnlich

  • Um das Komplement eines Satzes zu erhalten, subtrahieren Sie den Satz von das universelle Set .
  • Um das umgekehrte Komplement einer Menge zu erhalten, subtrahieren Sie es von eine andere definierte Menge .

Abschließend…

Sets scheinen im Alltag möglicherweise nicht sehr nützlich zu sein. Sie sind jedoch äußerst nützlich für die höhere Mathematik. Es ist gut, die Grundlagen zu verstehen, damit Sie später bei Bedarf darauf zurückgreifen können.

Weiter:
Einführung in die Wahrscheinlichkeit
Einführung in die Algebra