Verhältnis und Proportion

Siehe auch: Brüche

Verhältnis ist ein mathematischer Begriff, der zum Vergleichen der Größe eines Teils mit einem anderen Teil verwendet wird.

Was bedeutet Durchschnitt in Mathe?

Anteil vergleicht einen Teil mit dem Ganzen.

Sie müssen diese mathematischen Konzepte häufiger verstehen, als Sie es erwarten würden, z. B.:



  • Umrechnung zwischen einer Währung und einer anderen bei Reisen ins Ausland
  • Mengen in einem Rezept messen
  • Preisvergleich im Supermarkt
  • Verwenden eines Maßstabs, z. B. auf einer Karte oder beim Erstellen eines Modells
  • Trainieren Sie Essen und Trinken, die Sie für eine Party benötigen
  • Berechnen Sie Ihre wahrscheinlichen Gewinne, wenn Sie eine Wette platzieren

Was ist ein Verhältnis?

Sie werden normalerweise Verhältnisse sehen, die zum Vergleichen von zwei Zahlen verwendet werden, aber sie werden häufig zum Vergleichen mehrerer Größen verwendet.

Verhältnisse werden normalerweise als zwei oder mehr durch einen Doppelpunkt getrennte Zahlen angezeigt, z. B. 7: 5, 1: 8 oder 5: 2: 1



Sie werden auch oft in einer Form gezeigt, die einer Fraktion ähnlich ist, z. 7/5 oder 1/8

Manchmal werden sie einfach in Worten und Zahlen ausgedrückt, z. B. „7 bis 5“ oder „eins bis acht“.

Wenn Sie verstehen, wie Brüche Wenn Sie arbeiten, werden Sie sehen, dass die Verhältnisse auf sehr ähnliche Weise funktionieren, aber es gibt einen wichtigen Unterschied, der im folgenden Beispiel dargestellt wird.



Wenn Sie sich die Reihe mit 10 Feldern unten ansehen, sehen Sie, dass 7 davon weiß und drei lila sind.

Das Verhältnis von lila zu weiß beträgt daher 3: 7

Die Fraktion von lila Kisten ist3/.10(oder 30%, ausgedrückt als Prozentsatz ).



Der Bruch wird in Bezug auf das Ganze ausgedrückt, während das Verhältnis als Vergleich zwischen zwei (oder mehr) Teilen des Ganzen ausgedrückt wird.

Verhältnisse reduzieren und multiplizieren

Beispiel 1:

Dave bestellt für sich und einige Freunde Mittagessen zum Mitnehmen. Für jeweils 4 Packungen Sandwiches, die er kauft, erhält er ein kostenloses Getränk. Wenn er 12 Packungen Sandwiches kauft, wie viele kostenlose Getränke bekommt er?



Das Verhältnis beträgt vier Sandwiches zu einem Getränk, das 4: 1 geschrieben ist

Dave kauft 12 Sandwiches, das sind 3 Lose von 4. Um herauszufinden, wie viele Getränke er bekommen wird, multiplizieren Sie beide Seiten des Verhältnisses mit der gleichen Menge:

3 × 4 = 12 Sandwiches

3 × 1 = 3 kostenlose Getränke

Beispiel 2:

James kümmert sich um die Bestellung von Büromaterial. Er hat 36-Jahres-Planer und 3 kostenlose Packungen Markierungsstifte erhalten. Wie viele Jahresplaner waren erforderlich, um eine kostenlose Packung Stifte zu erhalten?

Das Verhältnis von Planern zu Stiften beträgt 36: 3

Das Verhältnis kann sein reduziert oder vereinfacht durch Teilen beider Seiten durch a gemeinsamer Faktor . Dies entspricht der zur Vereinfachung verwendeten Methode Fraktionen .

In diesem Fall wird das Verhältnis reduziert, indem beide Seiten des Verhältnisses durch drei geteilt werden, was die Antwort ergibt: 12: 1

Pro 12 bestellten Planern wird 1 Packung Stifte geliefert.

Mach dir keine Sorgen über Dezimalstellen.


Wenn Sie mit Brüchen arbeiten, müssen Zähler und Nenner (obere und untere Zahl) immer ganze Zahlen sein.

Wenn Sie jedoch mit Verhältnissen arbeiten, ist es vollkommen richtig, eine Dezimalstelle zu verwenden. Zum Beispiel kann das Verhältnis 5:12 als 1: 2,4 ausgedrückt werden

Skalierungsverhältnisse

Verhältnisse sind besonders nützlich, wenn wir müssen Rahmen eine Menge, d. h. Erhöhen oder Verringern einer Menge oder Größe von etwas.

Die gebräuchlichsten Beispiele sind Karten oder maßstabsgetreue Modelle, bei denen Gebiete mit einer Größe von vielen Kilometern auf einer kleinen Karte genau dargestellt werden, oder eine große Dampflokomotive beispielsweise in eine viel kleinere, aber präzise Darstellung ihrer selbst übersetzt wird.

Die Fähigkeit, ein Verhältnis zu skalieren, ist auch eine sehr nützliche Fähigkeit, wenn die Menge der Zutaten in einem Rezept erhöht oder verringert wird.

Welche der folgenden Aussagen spiegelt den vierten Schritt effektiver Kommunikation wider?

Verhältnisse können vergrößert oder verkleinert werden, indem beide Teile des Verhältnisses mit derselben Zahl multipliziert werden, wie in den obigen Beispielen.

Zum Beispiel bedeutet ein Kartenmaßstab von 1: 25000, dass jeder 1 mm auf der Karte 25000 mm (oder 25 m) auf dem Boden darstellt.

Ein Modellauto im Maßstab 1:12 bedeutet, dass jeder 1 Zoll des Modells 12 Zoll des Fahrzeugs in voller Größe entspricht.

Beobachten Sie Ihre Einheiten!


In den obigen Karten- und Fahrzeugbeispielen sind die Einheiten in Millimetern und Zoll angegeben. Sie könnten jedoch alles sein solange sie auf beiden Seiten des Verhältnisses gleich sind .

Der Kartenmaßstab von 1: 25000 könnte 1 Zoll auf der Karte und 25000 Zoll auf dem Boden sein, aber es kann nicht 1 Zoll auf der Karte bis 25000 cm auf dem Boden sein, da die Einheiten nicht gleichwertig sind.

Der Modellautomaßstab von 1:12 kann beim Modell 1 cm bis 12 cm am Fahrzeug betragen, beim Modell jedoch nicht 1 cm bis 12 m am Fahrzeug, da die Einheiten nicht konsistent sind.

Das einzige Ausnahme ist, wenn die Einheiten auf beiden Seiten angegeben sind. Zum Beispiel waren Ordnance Survey-Karten in Großbritannien früher „One Inch to One Mile“. Dies ist in Ordnung, da die Einheiten für beide Seiten bereitgestellt wurden.

um mit einer plötzlichen Ablenkung während einer Rede fertig zu werden, könnten Sie

Beispiel 3:

Sie müssen 20 Cupcakes machen, aber die Menge im Rezept unten reicht nur für 12. Sie könnten die Zutaten verdoppeln und 24 Cupcakes machen, wobei vier für sich übrig bleiben! Wenn Sie jedoch nicht genügend Zutaten für 24 haben, können Sie anhand des Verhältnisses berechnen, wie viel von jeder Zutat für die Herstellung von 20 Cupcakes benötigt wird.

120 g Butter
120 g Puderzucker
3 Eier
1 TL Vanilleextrakt
120 g selbstaufziehendes Mehl
1 EL Milch

Sie müssen das Rezept von 12 auf 20 skalieren, damit das Skalierungsverhältnis gleich ist 12:20

Das Verhältnis ist jedoch nicht in seiner einfachsten Form, sodass Sie es reduzieren können, um die Berechnung zu vereinfachen. Sowohl 12 als auch 20 können zu gleichen Teilen durch 2 oder 4 geteilt werden. Wenn Sie beide Seiten durch 4 teilen, wird das Verhältnis auf die einfachste Form reduziert: 3: 5

Der nächste Schritt erfordert abstraktes Denken! Sie müssen sich das Originalrezept als drei Einheiten und die Menge, die Sie benötigen, als 5 Einheiten vorstellen.

Die Methode zum Konvertieren des Rezepts besteht daher darin, alle ursprünglichen Mengen durch drei zu teilen, die Mengen für 1 Einheit zu erhalten und dann mit 5 zu multiplizieren.

Die Mengen an Butter, Zucker und Mehl sind alle gleich, sodass Sie für alle nur eine Berechnung durchführen müssen:

120 g ÷ 3 = 40 g Butter / Zucker / Mehl
und
3 Eier ÷ 3 = 1 Ei

Um die Milchmenge zu berechnen, konvertieren Sie zuerst die Einheiten von Esslöffeln (EL) in Milliliter (ml), um dies zu vereinfachen.

1 EL Milch = 15 ml
15 ml ÷ 3 = 5 ml Milch

Ein Teelöffel (TL) Vanilleextrakt ist etwas kniffliger, aber konvertieren Sie die Einheiten ebenfalls in Milliliter: Ein Teelöffel entspricht 5 ml. Sie enden also mit5/.3ml Vanille für diesen Teil der Berechnung!

Um die Mengen für 20 Cupcakes zu berechnen, müssen Sie die Mengen für „1 Einheit“ mit 5 multiplizieren.

40 g × 5 = 200 g Butter / Zucker / Mehl
1 Ei × 5 = 5 Eier
5 ml Milch × 5 = 25 ml Milch
5/.3ml Vanille × 5 = 8.33 ml Vanille (dies erfordert ein wenig Schätzung, wenn Sie messen! Dies ist jedoch im wirklichen Leben häufig der Fall.)

Achten Sie abschließend auf die Reihenfolge des Verhältnisses!


Überprüfen Sie immer, ob Sie das Verhältnis richtig gelesen haben. Ein Verhältnis von 4 Hähnchen zu 15 Hühnern sollte 4:15 geschrieben werden, nicht 15: 4.



Anteil

Schauen wir uns noch einmal die weißen und lila Kästchen an.

Sie wissen jetzt, dass das Verhältnis von lila zu weiß 3: 7 beträgt

Die Fraktion von lila Kisten ist3/.10

Das Verhältnis vergleicht den Teil mit dem Ganzen wie Brüche. Der Anteil der lila Kästchen beträgt daher 3 zu 10.

Selbst wenn Sie mehrere Zeilen mit Feldern haben, die mit der obigen Zeile identisch sind, bleibt das Verhältnis von Lila zu Weiß 3: 7 und das Verhältnis von Lila zu Weiß 3 von 10.


Beispiel 4:

Pam hält tropische Fische in einem Aquarium zu Hause. Sie hat 6 Tetra, 15 Minnow, 5 Platy und 4 Guppy.

Wie viel Prozent ihrer Fische sind Minnow?

Insgesamt gibt es 30 Fische und 15 davon sind Minnow. Der Anteil der Fische, die Minnow sind, beträgt also 15 zu 30, was 1 zu 2 entspricht. Da der Anteil mit Brüchen zusammenhängt, kann man das sagen1/.(die Hälfte) von Pams Fischen sind Minnow.

In ähnlicher Weise sind 5 von 30 Fischen Platy, was 1 von 6 entspricht.

Welche der folgenden Methoden eignet sich nicht, um ein kreativerer Denker zu werden?

Wir können dieses Beispiel auch verwenden, um Verhältnisse zu betrachten.

Das Verhältnis von Minnow zu anderen Fischen beträgt 15:15, d. H. 1: 1.

Das Verhältnis von Tetra zu anderen Fischen beträgt 6:24, d. H. 1: 4

Und das Verhältnis von Tetra zu Minnow zu Platy zu Guppy beträgt 6: 15: 5: 4!


Fazit

Verhältnis und Anteil sind mathematische Konzepte, die einen Betrag mit einem anderen Betrag vergleichen. Es kann schwierig sein, sie zu verstehen, aber sie funktionieren ähnlich wie Brüche. Sie können in vielen alltäglichen Situationen nützlich sein, insbesondere wenn Sie ein Rezept skalieren müssen.


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