Wahrscheinlichkeit eine Einführung

Siehe auch: Schätzung, Annäherung und Rundung

Wahrscheinlichkeit ist die Wissenschaft, wie wahrscheinlich Ereignisse sind. Im einfachsten Fall geht es um das Würfeln oder den Fall der Karten in einem Spiel. Die Wahrscheinlichkeit ist aber auch für die Wissenschaft und das Leben im Allgemeinen von entscheidender Bedeutung.

Die Wahrscheinlichkeit wird beispielsweise in so unterschiedlichen Bereichen wie der Wettervorhersage und zur Ermittlung der Kosten Ihrer Versicherungsprämien verwendet.

Ein grundlegendes Verständnis der Wahrscheinlichkeit ist eine wesentliche Fähigkeit im Leben, auch wenn Sie kein professioneller Spieler oder Wetterprognostiker sind.



Grundwahrscheinlichkeit: Einige Konzepte

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Mit anderen Worten, es ist ein Bruchteil. Es wird auch manchmal als Prozentsatz geschrieben, da ein Prozentsatz einfach ein Bruchteil mit einem Nenner von 100 ist. Weitere Informationen zu diesen Konzepten finden Sie auf unseren Seiten unter Brüche und Prozentsätze .

Ein Ereignis, dessen Eintreten sicher ist, hat eine Wahrscheinlichkeit von 1 oder 100%, und eines, das definitiv nicht eintritt, hat eine Wahrscheinlichkeit von Null. Es soll auch unmöglich sein.



Was ist Wahrscheinlichkeit?


Die Wahrscheinlichkeit (P), dass ein Ereignis eintreten wird, ist:

P = Anzahl der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis führen
Gesamtzahl möglicher Ergebnisse


Die Wahrscheinlichkeit ist anhand eines Beispiels leichter zu verstehen:

Angenommen, Sie werfen einen Standardwürfel und möchten wissen, wie hoch Ihre Chancen sind, eine 6 zu werfen.

In diesem Fall gibt es nur ein Ergebnis das führt zu diesem Ereignis (dh Sie werfen eine 6) und insgesamt 6 möglichen Ergebnissen (Sie können 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 werfen).

Bedeutung der Gruppenarbeit im Unterricht



Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen, ist daher1/.6.

Angenommen, Sie möchten wissen, wie hoch Ihre Chancen sind, 1 oder 6 zu werfen. Jetzt gibt es sie zwei günstige Ergebnisse , 1 und 6, aber immer noch 6 mögliche Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit ist daherzwei/.6. Was Sie reduzieren können1/.3.

Weitere Informationen zum Reduzieren von Brüchen finden Sie auf unserer Seite unter Brüche .

Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit wird etwas komplizierter, wenn Sie mehrere Ereignisse haben, z. B. wenn Sie mehr als eine Münze werfen oder mehrere Würfel werfen.

Der Grund ist, dass Sie mehr mögliche Ergebnisse haben.



Wenn Sie beispielsweise zwei Münzen werfen, kann jede mit Kopf oder Zahl landen. Anstelle von nur zwei möglichen Ergebnissen (Kopf oder Zahl) gibt es jetzt vier:

Erste Münze Kopf Kopf Schwanz Schwanz
Zweite Münze Schwanz Kopf Schwanz Kopf

Mehr Münzen bedeuten mehr mögliche Ergebnisse.

Als Faustregel gilt: Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist gleich:

Die Anzahl der Ergebnisse pro Element nach der Anzahl der Elemente.



Wenn Sie also fünf Münzen mit jeweils zwei möglichen Ergebnissen haben, beträgt die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse 25= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten, einen Kopf und einen Schwanz zu werfen, wenn Sie zwei Münzen werfen, gibt es zwei günstige Ergebnisse (die erste Münze ist Kopf und die zweite ist Schwanz oder die erste ist Schwanz und die zweite ist Schwanz Köpfe) und insgesamt vier Veranstaltungen. Die Wahrscheinlichkeit istzwei/.4oder1/.zwei.

Top Tipp!


Die meisten Fehler in der Wahrscheinlichkeit liegen darin, entweder die wahre Anzahl möglicher Ergebnisse nicht zu berechnen oder die wahre Anzahl günstiger Ergebnisse nicht zu berechnen.

Nehmen Sie sich immer Zeit, um sicherzustellen, dass Sie alle möglichen Ergebnisse erzielen. Listen Sie sie gegebenenfalls auf.


Gearbeitetes Beispiel

Wenn Sie drei Würfel werfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie keine 4s, 5s oder 6s werfen?

Sie werfen drei Würfel, von denen jeder 6 mögliche Ergebnisse hat.

Die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt daher 63= 6 x 6 x 6 = 216

Jeder Würfel hat drei günstige Ergebnisse, 1, 2 oder 3.

Für die ersten beiden Würfel müssen Sie entweder 1, 2 oder 3 für beide Würfel werfen. Die günstigen Ergebnisse sind:

1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 3-1 3-2 3-3

Mit anderen Worten gibt es neun günstige Ergebnisse mit zwei Würfeln. Jetzt hat jeder von diesen drei mögliche günstige Ergebnisse aus dem dritten Würfel (dh der dritte Würfel könnte 1, 2 oder 3 sein).

Die Anzahl der günstigen Ergebnisse beträgt also 9 x 3 = 27 .

Die Wahrscheinlichkeit, 4, 5 oder 6 nicht mit drei Würfeln zu würfeln, ist daher27/.216=1/.8.



Unabhängige und abhängige Wahrscheinlichkeit

Die obigen Regeln gelten, wenn die Elemente sind unabhängig Zum Beispiel Würfel oder Münzen, und das Ergebnis des ersten hat keinen Einfluss auf das zweite oder nachfolgende Ereignis.

Es wird jedoch komplizierter, wenn das erste Ereignis das zweite und nachfolgende Ereignisse betrifft, dh sie sind es abhängig .

Abhängige Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse, wenn das erste Ereignis das zweite beeinflusst.

Abhängige Ereignisse sind nicht so ungewöhnlich, wie Sie vielleicht denken. Ziehen Sie in Betracht, Karten aus einer Packung zu ziehen. Wenn Sie die Karten nicht nach jeder Ziehung ersetzen, haben Sie jedes Mal eine andere Anzahl möglicher Ergebnisse. In diesem Fall müssen Sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens jedes Ereignisses ermitteln und diese dann auf irgendeine Weise kombinieren.

Die Art und Weise, wie Sie sie kombinieren, hängt davon ab, ob Sie die Wahrscheinlichkeit von wissen möchten entweder Ereignis oder beide Veranstaltungen ( ODER oder UND ):

  • Um die Wahrscheinlichkeit von zu berechnen beide Veranstaltungen (UND) , Sie multiplizieren die Wahrscheinlichkeit des einen durch die Wahrscheinlichkeit des anderen.
  • Um die Wahrscheinlichkeit von zu berechnen entweder Veranstaltung (ODER) , Sie hinzufügen die Wahrscheinlichkeit des einen zur Wahrscheinlichkeit des anderen.

Gearbeitetes Beispiel

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Zügen mindestens ein Ass aus einem Kartenspiel zu ziehen, wenn Sie die dazwischen liegenden Karten nicht ersetzen?

Das Paket enthält 52 Karten, von denen vier Asse sind.

Es gibt drei mögliche günstige Ergebnisse:

Du könntest zwei Asse ziehen - Ass / Ass

Identifizieren Sie den Typ für jedes regelmäßige Polygon

Oder Sie können ein Ass ziehen, entweder als erste oder als zweite Karte - Ass / Nicht, Nicht / Ass.

In UND / ODER-Begriffen sind dies:

  • Ass UND Ass ODER
  • Ass UND nicht Ass ODER
  • Nicht Ass UND Ass.

Dies bedeutet, dass wir zur Lösung des Problems sowohl Multiplikation als auch Addition verwenden müssen.

Das erste Szenario: Ass und Ass

Die Wahrscheinlichkeit, ein Ass auf die erste Karte zu ziehen, beträgt4/.52=1/.13.

Sobald Sie ein Ass gezogen haben, sind nur noch 51 Karten übrig, von denen Sie die zweite Karte ziehen können, und nur drei davon sind Asse. Die Wahrscheinlichkeit, ein zweites Ass zu ziehen, beträgt daher 3/51. Sie möchten beide Ereignisse, also müssen Sie sie multiplizieren.

Die Wahrscheinlichkeit, Ass UND Ass zu ziehen, ist1/.13x3/.51=1/.221

Das zweite Szenario: Ass und nicht Ass

Die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen, bleibt bestehen1/.13. Aber jetzt haben Sie noch 51 Karten übrig, von denen alle bis auf drei keine Asse sind. 51-3 = 48.

Ihre Chance, auf der zweiten Karte ein 'Nicht-Ass' zu ziehen, ist daher48/.51und die Chance, Ace AND Not Ace zu ziehen, ist1/.13x48/.51=16/.221

Das dritte Szenario: Nicht Ass und Ass

Die Wahrscheinlichkeit, auf der ersten Karte ein „Nicht-Ass“ zu ziehen, beträgt (52-4) ÷ 52 =48/.52

Welche der folgenden Punkte sollten in die Analyse eines Projekts einbezogen werden

Die Wahrscheinlichkeit, ein Ass auf die zweite Karte zu ziehen, beträgt4/.51.

Die Wahrscheinlichkeit, Not Ace AND Ace zu ziehen, ist daher48/.52x4/.51=16/.221

Beachten Sie, dass dies in diesem Fall dasselbe ist wie Ace-Not Ace.

Dies wird nicht immer für alle Szenarien folgen.


Die Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Ass zu ziehen, wenn Sie zwei Karten ziehen, ist daher die Wahrscheinlichkeit, dass jedes der drei Szenarien addiert wird (da nur eines benötigt wird: es handelt sich um ODER-Ereignisse).

Die Antwort ist1/.221+16/.221+16/.221=33/.221.



Top Tipp!


Wenn Sie sich nicht mehr daran erinnern können, ob Sie für AND oder OR addieren oder multiplizieren müssen, haben Sie zwei einfache Möglichkeiten, sich daran zu erinnern:

  1. Für AND fügen Sie nichts hinzu.

  2. Die Wahrscheinlichkeit, entweder einen Kopf oder einen Schwanz von einer Münze zu werfen, beträgt 1 (es ist eine Gewissheit). Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beträgt ½. Wenn Sie diese multiplizieren, erhalten Sie ¼. Das tust du nicht. Sie fügen sie hinzu: ½ + ½ = 1.

Beachten Sie auch, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit nicht mehr als 1 betragen kann. Wenn Ihre Antwort größer als 1 ist, haben Sie wahrscheinlich hinzugefügt, anstatt zu multiplizieren.


Ein Wort der Beruhigung

Erweiterte Wahrscheinlichkeitssummen können extrem lang werden, wenn Sie alle möglichen Ergebnisse ausgeschrieben haben. Sie sind jedoch nicht schwieriger zu tun. Solange Sie alle günstigen Ergebnisse und alle möglichen Ergebnisse richtig herausgearbeitet haben, müssen Sie nur die Zahlen in die UND / ODER-Formel einfügen und erhalten die richtige Antwort.


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