Polare, zylindrische und sphärische Koordinaten

Siehe auch: Kartesischen Koordinaten

Unsere Seite auf Kartesischen Koordinaten führt den einfachsten Typ eines Koordinatensystems ein, bei dem die Referenzachsen orthogonal (im rechten Winkel) zueinander sind. In den meisten alltäglichen Anwendungen, wie dem Zeichnen eines Diagramms oder dem Lesen einer Karte, verwenden Sie die Prinzipien kartesischer Koordinatensysteme. In diesen Situationen wird die genaue, eindeutige Position jedes Datenpunkts oder jeder Kartenreferenz durch ein Paar von (x, y) Koordinaten (oder (x, y, z) in drei Dimensionen) definiert. Die Koordinaten sind die 'Adresse' des Punkts, seine Position relativ zu einer bekannten Position, die als 'Adresse' bezeichnet wird Ursprung innerhalb eines zwei- oder dreidimensionalen Gitters auf einer ebenen Fläche oder einem rechteckigen 3D-Raum.

Einige Anwendungen umfassen jedoch gebogen Linien, Flächen und Räume. Hier sind kartesische Koordinaten schwierig zu verwenden, und es wird notwendig, ein System zu verwenden, das von Kreisformen abgeleitet ist, wie z. B. polare, sphärische oder zylindrische Koordinatensysteme.


Warum sind polare, sphärische und zylindrische Koordinaten wichtig?

In alltäglichen Situationen ist es viel wahrscheinlicher, dass Sie auf kartesische Koordinatensysteme stoßen als auf polare, sphärische oder zylindrische. Zweidimensionale Polarkoordinaten und ihre dreidimensionalen Verwandten werden jedoch in einer Vielzahl von Anwendungen verwendet, von Ingenieurwesen und Luftfahrt bis hin zu Computeranimation und Architektur.



Möglicherweise müssen Sie Polarkoordinaten in jedem Kontext verwenden, in dem eine kreisförmige, sphärische oder zylindrische Symmetrie in Form eines physischen Objekts oder einer kreisförmigen oder orbitalen (oszillierenden) Bewegung vorliegt.



Was bedeutet das?

Physikalisch gekrümmte Formen oder Strukturen umfassen Scheiben, Zylinder, Globen oder Kuppeln. Dies kann alles sein, von Druckbehältern mit Flüssiggasen bis hin zu vielen Beispielen für Kuppelstrukturen in alten und modernen architektonischen Meisterwerken.

Physiker und Ingenieure verwenden Polarkoordinaten, wenn sie mit einer gekrümmten Flugbahn eines sich bewegenden Objekts arbeiten (Dynamik) und wenn diese Bewegung hin und her (Schwingung) oder rund und rund (Drehung) wiederholt wird. Beispiele hierfür sind Orbitalbewegungen wie die der Planeten und Satelliten, ein schwingendes Pendel oder mechanische Vibrationen. In einem elektrischen Kontext werden Polarkoordinaten bei der Gestaltung von Anwendungen mit Wechselstrom verwendet. Audiotechniker verwenden sie, um den „Aufnahmebereich“ von Mikrofonen zu beschreiben. und sie werden bei der Analyse von Temperatur und Magnetfeldern verwendet.

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Ein Schwerpunkt auf Erforschung


Die bekannteste Verwendung im alltäglichen Kontext ist vielleicht die Navigation. Entdecker im Laufe der Geschichte haben sich auf das Verständnis der Polarkoordinaten verlassen.

Schiffe und Flugzeuge navigieren mit Kompassen, die die Fahrtrichtung angeben (bekannt als a Überschrift ) relativ zu einer bekannten Richtung, die magnetischer Norden ist. Der Kurs wird als Winkel von genau nach Norden (0 °) im Uhrzeigersinn um den Kompass gemessen, sodass genau nach Osten 90 °, nach Süden 180 ° und nach Westen 270 ° beträgt.

GPS-Satelliten können die Position eines Schiffes in der heutigen Welt mit großer Genauigkeit bestimmen, aber selbst jetzt müssen Seeleute und Flieger die Prinzipien der klassischen Navigation verstehen.



Wie werden polare, sphärische und zylindrische Koordinaten definiert?

In diesen und vielen anderen Fällen ist es angemessener, eine Abstandsmessung entlang einer in a ausgerichteten Linie zu verwenden radial Richtung (mit ihrem Ursprung in der Mitte des Kreises, der Kugel oder des Bogens) kombiniert mit einem Drehwinkel, als es ein orthogonales (kartesisches) Koordinatensystem verwenden soll.

Die Trigonometrie kann dann verwendet werden, um zwischen den beiden Arten von Koordinatensystemen zu konvertieren. Weitere Informationen dazu und zur Theorie dahinter finden Sie auf unseren Seiten unter gebogene Formen , dreidimensionale Formen und Trigonometrie .

Polar Koordinaten

Polar Koordinaten



In mathematischen Anwendungen, in denen Polarkoordinaten verwendet werden müssen, wird jeder Punkt in der Ebene durch seinen radialen Abstand bestimmt (r ) vom Ursprung (dem Krümmungszentrum oder einer bekannten Position) und einem Winkel Theta ( theta ) (gemessen im Bogenmaß).

Der Winkel ( theta ) wird immer von der gemessen (x ) -Achse zur radialen Linie vom Ursprung zum Punkt (siehe Abbildung).

So wie ein Punkt in kartesischen Koordinaten durch ein Koordinatenpaar ( (x, y )) definiert wird, wird er in Radialkoordinaten durch das Paar ( (r, theta )) definiert. Mit Pythagoras und Trigonometrie können wir zwischen kartesischen und polaren Koordinaten konvertieren:



$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 quad text {und} quad tan theta = frac {y} {x} $$

Und wieder zurück:

$$ x = r cos theta quad text {und} quad y = r sin theta $$

Sphärische und zylindrische Koordinatensysteme

Diese Systeme sind die dreidimensionalen Verwandten des zweidimensionalen Polarkoordinatensystems.

Formel der Formen Oberfläche und Volumen
Zylinderkoordinaten

Zylinderkoordinaten sind einfacher zu verstehen als sphärisch und ähneln dem dreidimensionalen kartesischen System (x, y, z). In diesem Fall wird die orthogonale x-y-Ebene durch die Polarebene ersetzt und die vertikale z-Achse bleibt gleich (siehe Abbildung).

Die Umwandlung zwischen zylindrischen und kartesischen Systemen ist dieselbe wie für das polare System, wobei die z-Koordinate hinzugefügt wird, die für beide gleich ist:

$$ r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {und} quad z = z $$

$$ x = r cos theta, quad y = r sin theta quad text {und} quad z = z $$

Oberflächen im zylindrischen System:


  • Wenn Sie (z ) zu einer Konstanten machen, haben Sie eine flache Kreisebene.
  • Wenn Sie ( theta ) zu einer Konstanten machen, haben Sie eine vertikale Ebene.
  • Wenn Sie (r ) konstant machen, haben Sie eine zylindrische Oberfläche.

Sphärische Koordinaten

Das sphärisches Koordinatensystem ist komplexer. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass Sie in alltäglichen Situationen darauf stoßen. Es wird hauptsächlich in komplexen naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen eingesetzt. Beispielsweise zeigen elektrische und Gravitationsfelder sphärische Symmetrie.

Sphärische Koordinaten Definieren Sie die Position eines Punktes durch drei Koordinaten rho ( ( rho ) ), Theta ( ( Theta )) und Phi ( ( Phi )).

( rho ) ist der Abstand vom Ursprung (ähnlich wie (r ) in Polarkoordinaten), ( theta ) ist der gleiche Winkel wie der Winkel in Polarkoordinaten und ( phi ) ist der Winkel zwischen den (mit) -Achse und die Linie vom Ursprung zum Punkt.

Ebenso wie die Konvertierung zwischen kartesischen und polaren oder zylindrischen Koordinaten ist es möglich, zwischen kartesischen und sphärischen Koordinaten zu konvertieren:

$$ x = rho sin phi cos theta, quad y = rho sin phi sin theta quad text {und} quad z = rho cos phi $$

$$ p ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad tan theta = frac {y} {x} quad text {und} quad tan phi = frac { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} $$

Oberflächen in einem sphärischen System:


  • Wenn Sie ( rho ) zu einer Konstanten machen, haben Sie eine Kugel.
  • Wenn Sie ( theta ) zu einer Konstanten machen, haben Sie eine vertikale Ebene.
  • Wenn Sie ( phi ) zu einer Konstanten machen, haben Sie eine horizontale Ebene (oder einen Kegel).

Breite und Länge, Karten und Navigation

Die bekannteste Anwendung von Kugelkoordinaten ist das Breiten- und Längengradsystem, das die Erdoberfläche zu Navigationszwecken in ein Gitter unterteilt. Die Abstände zwischen Linien im Raster werden nicht in Meilen oder Kilometern gemessen, sondern in Grad und Minuten.

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Breitengrade sind horizontale Schnitte durch den Globus. Die Scheibe am Äquator befindet sich auf 0 ° Breite und die Pole auf ± 90 °. Diese Linien werden Parallelen genannt.

Längengrade sind wie die Keile einer Orange, gemessen radial von einer vertikalen Symmetrielinie, die die Pole verbindet. Diese Linien werden Meridiane genannt. Die Referenzlinie mit einer Länge von 0 ° ist als Greenwich-Meridian bekannt, der durch das Royal Observatory in Greenwich, London, verläuft.

Die Erde

Um dieses 3D-System für die Navigation zu verwenden, muss das gekrümmte Gitter jedoch mit a auf flache „Karten“ (Karten der Küsten und des Meeresbodens für Seeleute) übertragen werden Projektion . Auf diese Weise können Diagramme wie herkömmliche Karten mit einem orthogonalen Rastersystem verwendet werden, und die Regeln der kartesischen Koordinaten können angewendet werden.

Stellen Sie sich zunächst vor, Sie wickeln ein Stück Papier um einen Globus und machen einen Zylinder. Das Bild auf dem Diagramm wird von der dreidimensionalen Kugel auf das zweidimensionale Blatt Papier projiziert. Dies ist eine spezielle Methode, die von Kartographen verwendet wird Mercator-Projektion .

Die Gitterlinien auf einer Seekarte sind immer noch in Grad und Minuten angegeben, und Entfernungen werden in Seemeilen gemessen. Eine Seemeile entspricht einer Minute Breitengrad.


Fazit

Es ist unwahrscheinlich, dass Sie polare oder sphärische Koordinaten verwenden müssen, es sei denn, Sie arbeiten in einer Rolle, die dies speziell erfordert. Es ist jedoch hilfreich, sich darüber im Klaren zu sein, was sie sind und wie sie verwendet werden.

Es ist auch faszinierend zu verstehen, wie eine Karte einer 3D-Form wie der Globus in flache Karten übersetzt werden kann, die es Seeleuten ermöglichen, den Globus seit Hunderten von Jahren zu bereisen.


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