Umfang und Umfang

Siehe auch: Dreidimensionale Formen

Wie viele mathematische Begriffe das Wort Umfang hat seinen Ursprung in der Arbeit der frühen griechischen Mathematiker. Es leitet sich von den griechischen Wörtern 'peri' ab, was 'um' bedeutet, und 'metron', was 'eine Messung' bedeutet. Umfang ist buchstäblich eine Messung um .

Im täglichen Gebrauch sind Sie möglicherweise auf Sätze wie gestoßen Umzäunung , Grundstücksumfang , oder Umfangssicherheit . Dies bedeutet, dass sich der Zaun oder die Sicherheitsvorkehrungen an den Rändern, den äußeren Grenzen oder den Extremitäten eines gemessenen Grundstücks oder Grundstücks befinden.

Das Verstehen, wie der Umfang berechnet wird, ist eine nützliche mathematische Fähigkeit sowohl für das Studium als auch für das wirkliche Leben, unabhängig davon, ob geometrische Berechnungen durchgeführt, ein Spielfeld markiert oder ein Zaun ersetzt werden.



Umfang oder Grenze?


Die Definition von a Grenze ist eine Trennlinie zwischen zwei Bereichen. Beim Cricket ist die Grenze die Linie, die den Rand des Spielfelds markiert.

Das Umfang ist die gemessene Länge einer solchen Grenze. In der Geometrie ist es definiert als die Summe des Abstands aller Längen der Seiten eines Objekts. Der Umfang wird in jeder Längeneinheit gemessen, z. Meter, Zentimeter, Meilen oder Zoll. Weitere Informationen hierzu finden Sie auf unserer Seite unter Messsysteme .

In der gemeinsamen Sprache werden die beiden häufig synonym verwendet. In einem mathematischen Kontext verwenden wir jedoch nur Umfang .

ZU Umfang ist eine sehr spezielle Art von Umfang, die sich nur auf kreisförmige Formen und Formen bezieht. Dazu später mehr.


Messumfang regulärer Polygone



Der Umfang einer zweidimensionalen Form ist die Gesamtlänge aller Seiten zusammenaddiert.

Zum Beispiel beträgt der Umfang eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 6 m einfach vier Lose von 6 m, d. H. 4 × 6 m = 24 m. Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten, die addiert werden.

Umfang eines Quadrats.

Ein Quadrat beliebiger Seitenlänge s hat daher einen Umfang gleich 4 × s oder einfach 4 s .



Umfang vs. Fläche


Verwechseln Sie nicht zwischen Umfang und Bereich . Während Umfang ist die Messung des Umrisses der Form, Bereich ist die Messung des im Umfang enthaltenen Raums.

Während also der Umfang in Längeneinheiten gemessen wird, wird die Fläche in quadratischen Einheiten gemessen, z. mzwei, cmzweioder Zollzwei.

Weitere Informationen zur Messfläche finden Sie auf unserer Seite unter Fläche berechnen .


Sie können das gleiche Prinzip verwenden, um den Umfang eines beliebigen zu ermitteln regelmäßiges Vieleck das hat eine beliebige Anzahl von Seiten gleicher Länge:

Wenn Ihr Polygon hat n Anzahl der Seiten, alle Länge s , dann ist sein Umfang immer gleich n × s , oder einfach ns .



Wenn Sie beispielsweise ein Siebeneck (7 Seiten) mit einer Seitenlänge von 15 cm haben, beträgt die Länge des Umfangs 7 × 15 = 105 cm.

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Weitere Informationen zu regulären, unregelmäßigen und anderen Polygonen (geradlinige Formen), einschließlich einer hilfreichen Tabelle mit Abbildungen, finden Sie auf unserer Seite unter Eigenschaften von Polygonen .

Messumfang unregelmäßiger Polygone
ZU regulär Polygon hat alle Seiten und Innenwinkel gleich, irregulär Polygone nicht.



Ein Rechteck, das beispielsweise kein genaues Quadrat ist, hat zwei Seitenpaare gleicher Länge, aber alle vier Seiten sind nicht gleich lang.

Beispiel

Finden Sie den Umfang eines rechteckigen Fußballplatzes mit einer Größe von 105 × 68 m.

Fußballplatzumfang

Die Längen der gegenüberliegenden Seiten sind gleich, so dass Sie zwei Lose von 105 m und zwei Lose von 68 m addieren müssen.

2 × 105 = 210 m
2 × 68 = 136 m
210 + 136 = 346 m

Der Umfang des Spielfelds beträgt 346 m .


Unregelmäßige Polygone können durch eine beliebige Kombination von geraden Linien gebildet werden, die sich verbinden, um einen Bereich einzuschließen. Egal wie kompliziert die Form ist, Der Umfang ist immer die Summe der Längen der Seiten .

Die Form unten könnte ein Gartengrundstück sein oder alles andere, was Sie sich vorstellen können. In geometrischer Hinsicht handelt es sich um eine achtseitig geschlossene 2D-Form, die keine Seiten gleicher Länge und keine Innenwinkel gleicher Größe aufweist.

Umfang unregelmäßiges Polygon.

Es ist ein unregelmäßiges Achteck (8 Seiten) und sein Umfang ist gleich a + b + c + d + e + f + g + h.


Beispiel

Berechnen Sie den Umfang der Vorlage unten. Die Abmessungen sind in Zoll angegeben.

Beispiel für die Berechnung des Umfangs eines unregelmäßigen Polygons.

Beginnen Sie an der unteren linken Ecke und arbeiten Sie sich im Uhrzeigersinn um die Form herum. Addieren Sie die Längen der Seiten:

5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 3 + 4 + 9 = 32 Zoll.

Der Umfang der Form beträgt 32 Zoll.



Diagramm zur Darstellung von Umfang, Radius und Durchmesser eines Kreises.

Umfang

Der Umfang ist eine bestimmte Art von Umfang, der ausschließlich für kreisförmige Formen gilt.

Den Umfang eines Kreises messen

Der mathematische Ausdruck zur Berechnung des Kreisumfangs lautet:

2 × π × Radius oder einfach 2πr

Der Durchmesser eines Kreises entspricht dem doppelten Radius, sodass auch der Ausdruck für den Umfang geschrieben werden kann πD .

Pi π


π (pi) ist ein griechischer Buchstabe, der in der Mathematik verwendet wird, um eine Konstante mit einem ungefähren Wert von 3,142 darzustellen (es ist ein irrational Zahl mit unendlichen Dezimalstellen). Weitere Informationen hierzu finden Sie auf unseren Seiten unter Kreise und geschwungene Formen und spezielle Nummern .

Beispiel

Der Platzwart muss die Linien auf dem Fußballfeld im obigen Beispiel neu streichen und wissen, wie viel Farbe er kaufen muss. Er hat den Umfang des Feldes berechnet und kennt auch die Länge der Mittellinie, da diese der kurzen Seite des Spielfelds entspricht. Er ist auch zuversichtlich, den Umfang der Strafbereiche zu messen, da dies ebenfalls einfache Rechtecke sind. Er muss jedoch den Umfang des Mittelkreises kennen.

Er hat seinen Radius gemessen und es ist 9,15 m.

Umfang = 2πr

2 × π × 9,15 = 57,5 ​​m (auf eine Dezimalstelle gerundet)

Der Umfang des Mittelkreises beträgt 57,5 m .

Den Umfang einer Ellipse messen

Nicht alle gekrümmten Formen sind perfekt kreisförmig und manchmal kann es notwendig sein, den Umfang eines zu finden Ellipse (ein gequetschter oder länglicher Kreis).

Ellipsenumfang.

Das Areal:

$$ p ca. 2 pi sqrt { frac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}} $$

Sie können sehen, dass dieser Ausdruck dem Ausdruck für den Umfang eines Kreises ähnlich ist, der Radius r jedoch durch ( sqrt { frac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}} ) ersetzt wird, wobei a und b sind die halbe Länge der Nebenachse bzw. der Hauptachse. (Weitere Informationen zu Ellipsen finden Sie auf unserer Seite unter Kreise und geschwungene Formen ).

Diese Gleichung liefert nur eine Annäherung (≈). Je länger die Ellipse wird, desto ungenauer ist die Antwort. Mathematiker haben mehrere komplexe Formeln zur Lösung dieses Problems entwickelt. Keiner von ihnen hat im mathematischen Sinne eine 100% ige Genauigkeit erreicht, aber es ist unwahrscheinlich, dass Sie ein so hohes Maß an Präzision benötigen, wenn Sie nicht in der Technik oder im Design arbeiten.

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Handwerkszeug


Es gibt viele Berufe und Berufe, bei denen Sie möglicherweise physikalische Messungen von Umfang und Grenzen vornehmen müssen, z. B. Tiefbau, Vermessung, Landschaftsarchitektur, Gartengestaltung und Wartung von Sportplätzen.

Es ist notwendig, nicht nur die oben genannten mathematischen Grundprinzipien zu verstehen, sondern auch fortgeschrittenere Rechenwerkzeuge wie z Trigonometrie . Es sind nicht nur die Längen der Linien wichtig, sondern auch die genaue Messung der Winkel zwischen diesen Linien.

Neben mathematischen Kenntnissen gibt es auch ein interessantes und abwechslungsreiches Toolkit, das für diese Art von Berufen benötigt wird. Relativ kurze Strecken können mit Stahlbändern oder Messrädern gemessen werden. Elektronische Entfernungsmessgeräte (EDM), die elektromagnetische Wellen verwenden, werden häufiger von Landvermessern verwendet. Diese werden in Verbindung mit anderen Instrumenten wie Füllständen und Theodoliten verwendet, die die Genauigkeit und Präzision von Winkelmessungen mithilfe einer so genannten mathematischen Technik sicherstellen Triangulation .

Wenn Sie jedoch nur Ihren Gartenzaun ersetzen müssen, sind Sie wahrscheinlich nur mit einem Maßband und einem Fadenball in Ordnung!


Fazit

Perimeter ist der mathematische Begriff, der verwendet wird, um die Gesamtlänge der Kanten einer mehrseitigen zweidimensionalen geschlossenen Form (Polygon) zu definieren. Bei Kreisformen spricht man von einem Umfang.

Viele Berufe erfordern diese mathematischen Fähigkeiten, die häufig in Verbindung mit viel komplexerer Geometrie und Trigonometrie eingesetzt werden. Ein grundlegendes Verständnis der Prinzipien ermöglicht es Ihnen jedoch, Arbeiten rund um Haus und Garten mit mehr mathematischem Vertrauen auszuführen. Sie können jetzt herausfinden, wie viele Steine ​​erforderlich sind, um den Rand eines kreisförmigen Teichs zu umrunden!


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Fläche berechnen
Kreise und geschwungene Formen