Einführung in die Trigonometrie

Siehe auch: Geometrie und Einführung

Wie der Name vermuten lässt, dreht sich bei der Trigonometrie alles um Dreiecke.

Insbesondere handelt es sich bei der Trigonometrie um rechtwinklige Dreiecke, bei denen einer der Innenwinkel 90 ° beträgt. Trigonometrie ist ein System, mit dem wir fehlende oder unbekannte Seitenlängen oder Winkel in einem Dreieck ermitteln können.

Weitere Informationen zu Dreiecken finden Sie auf unserer Seite unter Polygone sollten Sie die Grundlagen auffrischen müssen, bevor Sie hier weiterlesen.



Rechtwinklige Dreiecke: Eine Erinnerung

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen einzelnen rechten Winkel. Per Definition bedeutet dies, dass nicht alle Seiten gleich lang sein können. Ein typisches rechtwinkliges Dreieck ist unten dargestellt.

Wichtige Begriffe für rechtwinklige Dreiecke


Rechtwinkliges Dreieck, das das Gegenteil, das Nebeneinander und die Hypotenuse zeigt
  • Das rechter Winkel wird durch das Kästchen in der Ecke angezeigt.



  • Der andere Winkel, den wir (normalerweise) kennen, wird durch angezeigt θ (Theta) .

  • Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, die die längste Seite ist, wird als bezeichnet Hypotenuse .

  • Die Seite gegenüber θ heißt die Gegenteil .



  • Die Seite neben θ, die nicht die Hypotenuse ist, wird als bezeichnet benachbart .

Satz von Pythagoras vs. Trigonometrie


Pythagoras war ein griechischer Philosoph, der vor über 2500 Jahren lebte. Ihm werden eine Reihe wichtiger mathematischer und wissenschaftlicher Entdeckungen zugeschrieben, von denen die wohl bedeutendste als Satz von Pythagoras bekannt geworden ist.

Es ist eine wichtige Regel, die gilt nur zu rechtwinkligen Dreiecken . Es steht dass 'Das Quadrat auf der Hypotenuse entspricht der Summe der Quadrate auf den beiden anderen Seiten.'

Das klingt ziemlich kompliziert, ist aber eigentlich ein recht einfaches Konzept, wenn wir es in einem Diagramm sehen:

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Pythagoras

Der Satz von Pythagoras sagt:

zuzwei+ bzwei= czwei

Wenn wir also die Länge zweier Seiten eines Dreiecks kennen und die dritte berechnen müssen, können wir den Satz von Pythagoras verwenden.

Wenn wir jedoch nur eine Seitenlänge und einen der Innenwinkel kennen, ist Pythagoras für uns allein nicht von Nutzen und wir müssen Trigonometrie verwenden.


Wir stellen vor: Sinus, Cosinus und Tangens

In der Trigonometrie gibt es drei Grundfunktionen, von denen jede eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist, die durch eine andere geteilt wird.

Die drei Funktionen sind:

Name Abkürzung Beziehung zu den Seiten des Dreiecks
Sinus Ohne Sin (θ) = Gegenteil / Hypotenuse
Kosinus etwas Cos (θ) = benachbart / Hypotenuse
Tangente So Tan (θ) = Gegenüber / benachbart


Berechnung von Sinus, Cosinus und Tangens

Es kann hilfreich sein, sich an Sinus, Cosinus und Tangens als SOH CAH TOA zu erinnern.

Das Erinnern an trigonometrische Funktionen kann zunächst schwierig und verwirrend sein. Sogar SOH CAH TOA kann schwierig sein. Sie könnten versuchen, eine lustige Mnemonik zu erfinden, die Ihnen hilft, sich zu erinnern. Halten Sie einfach jede Gruppe von drei Buchstaben in derselben Reihenfolge.



Zum Beispiel könnte TOA SOH CAH sein ' T. er ODER ld ZU ein Archäologe S. beim ODER n H. ist C. Hafer ZU nd H. beim'.

Top Tipp!


Aufgrund der Beziehungen zwischen ihnen kann Tan θ auch wie folgt berechnet werden:
Sin θ / Cos θ.

Das bedeutet, dass:

  • Sin & thgr; = Cos & thgr; × Tan & thgr; und
  • Cos θ = Sin θ / Tan θ.

Trigonometrie im Kreis

Weitere Informationen zu Kreisen oder eine kurze Auffrischung finden Sie auf unserer Seite unter Kreise und geschwungene Formen .

Bei der Betrachtung von Dreiecken sind wir auf Winkel von weniger als 90 ° beschränkt. Die Trigonometrie ist jedoch für alle Winkel von 0 bis 360 ° gleichermaßen anwendbar. Um zu verstehen, wie die trigonometrischen Funktionen mit Winkeln größer als 90 ° funktionieren, ist es hilfreich, über Dreiecke nachzudenken, die innerhalb eines Kreises aufgebaut sind.

Die kartesischen Koordinaten eines Kreises.



Stellen Sie sich einen Kreis vor, der in vier Quadranten unterteilt ist.

Herkömmlicherweise wird der Mittelpunkt des Kreises als kartesische Koordinate von (0,0) betrachtet. Das heißt, der x-Wert ist 0 und der y-Wert ist 0. Weitere Informationen hierzu finden Sie auf unserer Seite unter Kartesischen Koordinaten .

Alles links von der Mitte hat einen x-Wert von weniger als 0 oder ist negativ, während alles rechts einen positiven Wert hat.

Welches der folgenden Beispiele ist ein Beispiel für Fragen in Bezug auf die Hörfähigkeiten?

Ebenso hat alles unterhalb des Mittelpunkts einen y-Wert von weniger als 0 oder ist negativ und jeder Punkt am oberen Rand des Kreises hat einen positiven y-Wert.


Verwenden eines Kreises mit trigonometrischen Funktionen für Winkel größer als 90 °.

Diagramm ich zeigt, was passiert, wenn wir einen Radius vom Mittelpunkt des Kreises nach rechts entlang der x-Achse zeichnen (wir sagen, dies ist in einer positiven Richtung).

Wir drehen dann den Radius gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel Theta θ. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

Ohne θ = gegenüber (rote Linie)
Hypotenuse (blaue Linie)

Cos θ = benachbart (grüne Linie)
Hypotenuse (blaue Linie)

Im Diagramm yl Wir haben den Radius weiter gegen den Uhrzeigersinn über die Vertikale (y-Achse) hinaus in den nächsten Quadranten gedreht. Hier ist θ ein stumpfer Winkel zwischen 90 ° und 180 °. Der Referenzwinkel alpha α ist gleich 180 ° - θ und ist der spitze Winkel innerhalb des rechtwinkligen Dreiecks.

Sin θ = Sin α = gegenüber (rote Linie)
Hypotenuse (blaue Linie)

Sowohl die blaue als auch die rote Linie sind positiv, also ist sin & thgr; positiv.

Cos θ = −Cos α = benachbart (grüne Linie)
Hypotenuse (blaue Linie)

Cos θ ist negativ, da die grüne Linie negativ ist (sie liegt entlang der x-Achse links vom Ursprung (0,0), also im negativen Abschnitt der x-Achse).

Im Diagramm iii hat sich der Radius weiter gegen den Uhrzeigersinn in den nächsten Quadranten gedreht, so dass der Wert von θ zwischen 180 ° und 270 ° liegt. Die grünen, roten und blauen Linien haben alle negative Werte und α = θ - 180 °. Sinus und Cosinus haben daher alle einen positiven Wert.

Diagramm iv zeigt den letzten Quadranten. Der Wert von θ liegt zwischen 270 ° und 360 °, die grüne Linie ist positiv, aber die roten und blauen Linien sind negativ. Sin & thgr; ist daher positiv und Cos & thgr; ist negativ. α = 360 ° - θ.


Der Einheitskreis

Das 'Einheitskreis' ist ein Sonderfall des in den obigen Diagrammen gezeigten Kreises. Der Einheitskreis hat einen Radius von 1.

Wenn wir mit einem Einheitskreis arbeiten, können wir cos, sin und tan direkt messen:

Sinus, Cosinus und Tangens - Einheitskreis

Diagramme von Sinus, Cosinus und Tangens

Die Beziehung zwischen dem Winkel und der Sünde oder dem cos kann als Graph gezeichnet werden:

  • y = sin (θ)
  • y = cos (θ)
Sinus, Cosinus Graph. www.skillsyouneed.com/num/trigonometry.html

Sie können sehen, dass wenn θ 0 ist, dann auch Sinus. Dies ist sinnvoll, wenn Sie sich das Einheitskreisdiagramm oben ansehen. Wenn θ = 0 ist, liegen sowohl die benachbarte als auch die Hypotenuse entlang der positiven x-Achse, und die rote Linie, die den Wert von sin θ anzeigt, verschwindet (es gibt kein Dreieck).

Der Cosinusgraph hat die gleiche Form wie der Sinus, hat jedoch den Wert 1, wenn θ = 0. Wenn Sie den Kreis oben noch einmal betrachten, wenn θ = 0, liegen sowohl die benachbarte als auch die Hypotenuse entlang der positiven x-Achse und haben den gleichen Wert. also benachbart / Hypotenuse = 1.

Die zyklische Natur der Sinus- und Cosinusgraphen ist in Wissenschaft, Natur und Technik unglaublich wichtig. Beispiele hierfür sind elektrische Anwendungen (Wechselstrom), Schall- und Radiowellen, einfache harmonische Bewegungen (z. B. ein schwingendes Pendel), die Flugbahn von Satelliten oder das Auf- und Absteigen der Flut.

Das Amplitude eines zyklischen Wellenmusters ist der Wert des 'Peaks' in der Grafik, d. h. der Abstand von der x-Achse zum Maximal- oder Minimalwert. In den obigen Sinus- und Cosinus-Diagrammen hat die Amplitude einen Wert von 1. Bei Anwendungen wie Schall oder elektrischem Strom variiert die Amplitude in Abhängigkeit von der Lautstärke des Schalls oder der Stärke des Stroms. Die Amplitude der Gezeiten variiert ebenfalls, abhängig von der Position des Mondes und seiner Anziehungskraft auf die Erde.

Die Eigenschaften des Tangentengraphen (tan & thgr;) sind sehr unterschiedlich. Der Tangentengraph hat keine Amplitude (wellenförmige Eigenschaften), weil es keine maximalen oder minimalen Spitzenwerte hat. Es ändert sich von −∞ nach + ∞ (negative und positive Unendlichkeit) und kreuzt alle 180 ° durch 0:

Diagramm der Tangentenlinien.

Im Unendlichen (positiv oder negativ) soll es sein nicht definiert. Wir können diesen Graphen besser verstehen, wenn wir die Gleichung tan θ = sin θ / cos θ betrachten. Immer wenn sin & thgr; Null ist, muss tan & thgr; ebenfalls Null sein. Wenn umgekehrt cos & thgr; Null ist, wird der Nenner in der Gleichung Null. Alles, was durch Null geteilt wird, hat einen Wert von unendlich, daher haben die Werte von θ, die einen Kosinus von Null haben, auch einen Tangens von unendlich in der Grafik. Infinity hat keinen exakten Wert, daher werden die Linien im Tangentengraphen immer vertikaler, wenn die y-Achse auf immer größere Werte ansteigt. Die Linien nähern sich für bestimmte Werte von θ, beispielsweise bei 90 °, immer mehr den vertikalen Linien im Diagramm an. Jede dieser vertikalen Linien wird als bezeichnet Asymptote .

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Inverse von Sinus, Cosinus und Tangens

Sie können auch die Umkehrfunktion zu sin, cos und tan berechnen, dh 1 geteilt durch diese Funktion. Sie werden als sin / cos / tan -1 bezeichnet. Auf diese Weise können Sie den Winkel berechnen, wenn Sie die Sünde, den Cos oder die Bräune davon haben.

Mit anderen Worten:

  • Sin (90) = 1
  • Sin - 1 (1) = 90 °

Trigonometrie und Taschenrechner


Wissenschaftliche Taschenrechner haben Sin-, Cos- und Tan-Funktionen sowie inverse Funktionen. Es lohnt sich, sich ein paar Minuten Zeit zu nehmen, um herauszufinden, wie Ihr Taschenrechner funktioniert.


Andere Dreiecke und Trigonometrie

Die Trigonometrie funktioniert auch für andere Dreiecke, nur nicht auf die gleiche Weise. Stattdessen gibt es zwei Regeln, die auf einem Dreieck wie diesem basieren:

Dreiecke in der Trigonometrie

Die Sinusregel lautet:

zu/.ohne ein=b/.ohne B.=c/.ohne C.

Die Kosinusregel lautet:

czwei= azwei+ bzwei- 2ab cos (C)


Warum brauche ich Trigonometrie?

Dies ist eine vernünftige Frage, und die Antwort liegt zumindest teilweise darin, dass diejenigen, die in vielen Ländern über den Mathematiklehrplan entscheiden, der Meinung sind, dass Sie darüber Bescheid wissen sollten, und das aus sehr guten Gründen.

Wie können Sie die Mitte der Präsentation so organisieren, dass sie leicht verständlich ist?

Die Trigonometrie soll die wichtigste mathematische Beziehung sein, die jemals entdeckt wurde. Dreiecke sind eine der einfachsten Formen in der Natur, aber ihre Mathematik ist von entscheidender Bedeutung, insbesondere wenn präzise Entfernungsmessungen erforderlich sind. Wenn wir über Anwendungen nachdenken, bei denen genaue Entfernungen wichtig sind, ist es offensichtlich, dass es Dutzende gibt, einschließlich Navigation in See- und Luftfahrtsystemen, Astronomie, Satellitensystemen, geografischen Vermessungen und Kartografie (Karten), Architektur und Tragwerksplanung, Grafikdesign und computergenerierte Bilder.

Viele davon beruhen auf einer Messtechnik, die als bekannt ist Triangulation , die die Konzepte der Trigonometrie anwendet.

Beispiel: Trigonometrie und Navigation

Wenn Sie auf See segeln oder kreuzen, wo Sie landen, ist betroffen von:

  • Die Richtung, in die Sie steuern;
  • Die Geschwindigkeit, mit der Sie in diese Richtung fahren (d. H. Die Motor- oder Windgeschwindigkeit); und
  • Die Richtung und Geschwindigkeit der Flut.

Sie können in eine Richtung fahren, aber die Flut könnte von einer Seite kommen und Sie zur anderen schieben. Sie benötigen Trigonometrie, um herauszufinden, wie weit Sie reisen und in welche genaue Richtung.

Ermitteln Sie Ihre Fahrtrichtung mithilfe der Trigonometrie.

Sie werden zu Recht herausgefunden haben, dass es nicht ganz so einfach ist, denn die tatsächliche Fahrtrichtung hängt von der Gezeitengeschwindigkeit und Ihrer Geschwindigkeit ab, aber Sie können wahrscheinlich sehen, warum Trigonometrie wichtig sein könnte!


Gearbeitetes Beispiel

Sie sind für einen Tag unterwegs und haben nichts dagegen, wo Sie landen. Sie haben sich auf den Weg nach Osten gemacht und planen, eine Stunde lang mit einer Reisegeschwindigkeit von 10 km / h zu segeln. Die Flut ist genau nach Norden und läuft mit 5 km / h. In welche Richtung wirst du am Ende reisen?

  1. Zeichne zuerst dein Dreieck und beschriften Sie die Seiten. Sie fahren genau nach Osten. Nehmen wir also den unteren Rand des Dreiecks mit einer Länge von 10 km. Die Flut wird dich nach Norden treiben, also lass uns das auf die rechte Seite machen. Und Sie möchten wissen, in welche Richtung Sie am Ende gehen werden. Das ist also der Winkel θ.

    Beispiel für Trigonometrie
  2. Sie haben das Gegenteil und das Nebeneinander, was bedeutet, dass Sie Tangente verwenden müssen. Tan θ = Gegenüber / benachbart = 5/10 = 0,5.

  3. Jetzt ist es an der Zeit, die inverse Bräunungsfunktion zu verwenden. Die inverse Bräune von 0,5 beträgt 26,6 °. Mit anderen Worten, tan 26,6 = 0,5.

  4. Kompass Die Richtung (Ihre Überschrift in der Navigation) wird von Norden aus gemessen , das ist 0 ° auf Ihrem Kompass. Ihre Antwort aus (3) wird jedoch von 90 ° oder Ost gemessen. Sie müssen daher Ihre Antwort von 90 ° subtrahieren, um die Antwort zu erhalten: Sie fahren in eine Richtung (Richtung) von 63,4 °, die zwischen Nordosten (45 °) und Ostnordosten (67,5 °) liegt.

Warum ist das wichtig? Sie müssen natürlich wissen, in welche Richtung Sie gereist sind, um nach Hause zu segeln!

Im wirklichen Leben müssen Sie sich auch daran erinnern, dass sich die Flut bis dahin möglicherweise geändert hat…


Fazit

Die Trigonometrie hat möglicherweise nicht allzu viele alltägliche Anwendungen, hilft Ihnen jedoch dabei, leichter mit Dreiecken zu arbeiten. Es ist eine nützliche Ergänzung zu Geometrie und tatsächlichen Messungen und es lohnt sich daher, ein Verständnis für die Grundlagen zu entwickeln, auch wenn Sie nie weiter vorankommen möchten.

Weiter:
Geometrie
Einführung in die Algebra