Einführung in die Geometrie: Punkte, Linien, Ebenen und Bemaßungen

Siehe auch: Fläche berechnen

Wenn Sie mit dem Studium der Geometrie beginnen, ist es wichtig, einige grundlegende Konzepte zu kennen und zu verstehen.

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Diese Seite hilft Ihnen, das Konzept der Bemaßungen in der Geometrie zu verstehen und herauszufinden, ob Sie in einer, zwei oder drei Dimensionen arbeiten.

Außerdem werden einige grundlegende Begriffe erläutert und Sie verweisen auf andere Seiten, um weitere Informationen zu erhalten.



Diese Seite behandelt Punkte, Linien und Ebenen.

Andere Seiten dieser Reihe erklären über Winkel und Formen, einschließlich Polygone , Kreise und andere gekrümmte Formen , und dreidimensionale Formen .

Was ist Geometrie?


Geometrie n., n. der Teil der Mathematik, der die Eigenschaften von Punkten, Linien, Oberflächen und Volumenkörpern behandelt…


Chambers English Dictionary, Ausgabe 1989



Die Geometrie stammt aus dem Griechischen und bedeutet „Erdmessung“. Sie ist die visuelle Untersuchung von Formen, Größen und Mustern und wie sie im Raum zusammenpassen. Sie werden feststellen, dass unsere Geometrieseiten viele Diagramme enthalten, die Ihnen das Verständnis des Themas erleichtern.

Wenn Sie mit einem Problem mit der Geometrie konfrontiert sind, kann es sehr hilfreich sein, sich ein Diagramm zu zeichnen.


Arbeiten in verschiedenen Dimensionen

Nein, nicht das Raum-Zeit-Kontinuum! Wir sprechen von Formen, die ein-, zwei- und dreidimensional sind.



Das heißt, Objekte mit Länge (eine Dimension), Länge und Breite (zwei Dimensionen) und Länge, Breite und Tiefe oder Höhe (drei Dimensionen).

Abmessungen geometrischer Objekte. Punkt - Keine Abmessungen. Linie - Eine Dimension. Flugzeug - zwei Dimensionen. Fest - Dreidimensional.

Punkte: Ein Sonderfall: Keine Abmessungen

ZU Punkt ist ein einzelner Ort im Raum. Es wird oft durch einen Punkt auf der Seite dargestellt, hat aber tatsächlich keine wirkliche Größe oder Form.

Sie können einen Punkt nicht in Bezug auf Länge, Breite oder Höhe beschreiben, daher ist dies der Fall nicht dimensional . Ein Punkt kann jedoch durch Koordinaten beschrieben werden. Koordinaten definieren nichts über den Punkt außer seiner Position im Raum in Bezug auf einen Referenzpunkt bekannter Koordinaten. In vielen Anwendungen werden Sie auf Punktkoordinaten stoßen, z. B. wenn Sie es sind Diagramme zeichnen oder Karten lesen.

Fast alles in der Geometrie beginnt mit einem Punkt, egal ob es sich um eine Linie oder eine komplizierte dreidimensionale Form handelt.

Linien: Eine Dimension

ZU Linie ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten. Es hat Länge, aber keine Breite, was es eindimensional macht.



Wo sich zwei oder mehr Linien treffen oder schneiden, gibt es einen Punkt, und die beiden Linien sollen sich einen Punkt teilen:

Sich überschneidende Linien und ein Punkt

Liniensegmente und Strahlen

Es gibt zwei Arten von Linien: diejenigen, die einen definierten Start- und Endpunkt haben, und diejenigen, die für immer weitergehen.

Linien, die sich zwischen zwei Punkten bewegen, werden aufgerufen Liniensegmente . Sie beginnen an einem bestimmten Punkt und gehen zu einem anderen, dem Endpunkt. Sie werden als Linie zwischen zwei Punkten gezeichnet, wie Sie es wahrscheinlich erwarten würden.

Was sind die vier Elemente des kritischen Denkens?
Liniensegment.



Der zweite Leitungstyp heißt a Strahl und diese gehen für immer weiter. Sie werden häufig als Linie gezeichnet, die von einem Punkt mit einem Pfeil am anderen Ende ausgeht:

Ray - Eine Linie, die bis ins Unendliche reicht.

Parallele und senkrechte Linien

Es gibt zwei Arten von Linien, die in der Mathematik besonders interessant und / oder nützlich sind. Parallele Linien niemals treffen oder kreuzen. Sie gehen einfach für immer nebeneinander weiter, ein bisschen wie Eisenbahnlinien. Die Konvention, um zu zeigen, dass Linien in einem Diagramm parallel sind, besteht darin, „Federn“ hinzuzufügen, die wie Pfeilspitzen aussehen.

Parallele Linien

Senkrechte Linien im rechten Winkel schneiden, 90 °:

Senkrechte Linien erzeugen einen rechten Winkel (90 °)

Ebenen und zweidimensionale Formen

Nachdem wir uns nun mit einer Dimension befasst haben, ist es Zeit, in zwei zu wechseln.

ZU Flugzeug ist eine flache Oberfläche, auch als zweidimensional bekannt. Es ist technisch unbegrenzt, was bedeutet, dass es für immer in eine bestimmte Richtung geht und als solches unmöglich auf eine Seite gezeichnet werden kann.

Eines der Schlüsselelemente in der Geometrie ist, in wie vielen Dimensionen Sie zu einem bestimmten Zeitpunkt arbeiten. Wenn Sie in einer einzelnen Ebene arbeiten, ist dies entweder eine (Länge) oder zwei (Länge und Breite). Bei mehr als einer Ebene muss es dreidimensional sein, da auch Höhe / Tiefe beteiligt ist.

Zweidimensionale Formen umfassen Polygone wie Quadrate, Rechtecke und Dreiecke, die gerade Linien und einen Punkt an jeder Ecke haben.

Zweidimensionale Polygone, Quadrat, Rechteck und Dreieck.
Weitere Informationen zu Polygonen finden Sie auf unserer Seite unter Polygone . Andere zweidimensionale Formen umfassen Kreise und jede andere Form, die eine Kurve enthält. Mehr dazu erfahren Sie auf unserer Seite, Gebogene Formen .

Drei Dimensionen: Polyeder und gekrümmte Formen

Schließlich gibt es auch dreidimensionale Formen wie Würfel, Kugeln, Pyramiden und Zylinder.

der beste Weg, um Selbstwertgefühl aufzubauen

Weitere Informationen hierzu finden Sie auf unserer Seite unter Dreidimensionale Formen .


Zeichen, Symbole und Terminologie

Geometrische Symbole. Grad °. Häkchen und Winkel.

Die hier abgebildete Form ist ein unregelmäßiges Fünfeck, ein fünfseitiges Polygon mit unterschiedlichen Innenwinkeln und Linienlängen (siehe unsere Seite auf Polygone für mehr über diese Formen).

Grad ° sind ein Maß für die Drehung und definieren die Größe des Winkels zwischen zwei Seiten.

Winkel werden in der Geometrie üblicherweise mit einem Kreissegment (einem Bogen) markiert, es sei denn, sie sind rechtwinklig, wenn sie „quadratisch“ sind. Winkelmarkierungen werden im Beispiel hier grün angezeigt. Siehe unsere Seite auf Winkel für mehr Informationen.

Häkchen (orange dargestellt) geben Seiten einer Form an, die gleich lang sind (Seiten einer Form, die gleich sind) kongruent oder das Spiel). Die einzelnen Linien zeigen, dass die beiden vertikalen Linien gleich lang sind, während die doppelten Linien zeigen, dass die beiden diagonalen Linien gleich lang sind. Die untere horizontale Linie in diesem Beispiel hat eine andere Länge als die anderen 4 Linien und ist daher nicht markiert. Häkchen können auch als „ Schraffuren '.

Ein Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem sich Linien treffen (Linien werden auch als Strahlen oder Kanten bezeichnet). Der Plural des Scheitelpunkts ist Scheitelpunkte. Im Beispiel gibt es fünf Scheitelpunkte mit den Bezeichnungen A, B, C, D und E. Die Benennung von Scheitelpunkten mit Buchstaben ist in der Geometrie üblich.

In einer geschlossenen Form, wie in unserem Beispiel, besagt die mathematische Konvention, dass die Buchstaben immer im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn in Ordnung sein müssen. Unsere Form kann als 'ABCDE' bezeichnet werden, es wäre jedoch falsch, die Scheitelpunkte so zu kennzeichnen, dass die Form beispielsweise 'ADBEC' war. Dies mag unwichtig erscheinen, ist jedoch in einigen komplexen Situationen von entscheidender Bedeutung, um Verwirrung zu vermeiden.


Das Winkelsymbol '∠' wird als Kurzsymbol in der Geometrie verwendet, wenn ein Winkel beschrieben wird. Der Ausdruck ∠ABC ist eine Kurzform, um den Winkel zwischen den Punkten A und C am Punkt B zu beschreiben. Der mittlere Buchstabe in solchen Ausdrücken ist immer der Scheitelpunkt des Winkels, den Sie beschreiben - die Reihenfolge der Seiten ist nicht wichtig. ∠ABC ist das gleiche wie ∠CBA, und beide beschreiben den Scheitelpunkt B. in diesem Beispiel.

Wenn Sie den gemessenen Winkel am Punkt B in Kurzschrift schreiben möchten, verwenden Sie:

m∠ABC = 128 ° (m bedeutet einfach 'messen')

Ich glaube, meine Fähigkeiten und Erfahrungen wären

oder

m∠CBA = 128 °

In unserem Beispiel können wir auch sagen:

m∠EAB = 90 °

m∠BCD = 104 °


Warum sind diese Konzepte wichtig?

Punkte, Linien und Ebenen untermauern fast jedes andere Konzept in der Geometrie. Winkel werden zwischen zwei Linien ausgehend von einem gemeinsamen Punkt gebildet. Formen, ob zweidimensional oder dreidimensional, bestehen aus Linien, die Punkte verbinden. Ebenen sind wichtig, da zweidimensionale Formen nur eine Ebene haben. dreidimensionale haben zwei oder mehr.

Mit anderen Worten, Sie müssen die Ideen auf dieser Seite wirklich verstehen, bevor Sie mit einem anderen Bereich der Geometrie fortfahren können.

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