Einführung in die Algebra

Siehe auch: Mengenlehre

Viele Leute denken, dass Gleichungen und Algebra sind jenseits von ihnen - der Gedanke, mit Gleichungen arbeiten zu müssen, erfüllt sie mit Angst. Es besteht jedoch kein Grund, sich vor Gleichungen zu fürchten.

Die gute Nachricht ist, dass Gleichungen eigentlich relativ einfache Konzepte sind. Mit ein wenig Übung und der Anwendung einiger einfacher Regeln können Sie lernen, sie zu manipulieren und zu lösen.

Diese Seite soll Sie in die Grundlagen der Algebra einführen, damit Sie sich hoffentlich beim Lösen einfacher Gleichungen wohler fühlen.



Was ist eine Gleichung?


Eine Gleichung besteht aus zwei Ausdrücken auf beiden Seiten eines Symbols, die ihre Beziehung angeben.

Diese Beziehung kann gleich (=), kleiner als () oder eine Kombination sein. Zum Beispiel kleiner oder gleich (≤) oder sogar ungleich (≠) oder ungefähr gleich (≈). Diese sind bekannt als Gleichberechtigung Symbole.

Einfache Gleichungen umfassen daher 2 + 2 = 4 und 5 + 3> 3 + 4.

Wenn die meisten Menschen jedoch über Gleichungen sprechen, meinen sie algebraische Gleichungen.

Dies sind Gleichungen, die sowohl Buchstaben als auch Zahlen beinhalten. Buchstaben werden verwendet, um einige der Zahlen zu ersetzen, bei denen ein numerischer Ausdruck zu kompliziert wäre oder bei denen Sie bestimmte Zahlen verallgemeinern möchten, anstatt sie zu verwenden. Sie können auch verwendet werden, wenn Sie die Werte in einem Teil der Gleichung kennen, andere jedoch unbekannt sind und Sie sie ausarbeiten müssen.



Algebraische Gleichungen werden gelöst, indem herausgefunden wird, welche Zahlen die Buchstaben darstellen.

Wir können die beiden oben genannten einfachen Gleichungen in algebraische Gleichungen umwandeln, indem wir eine der Zahlen durch (x ) ersetzen:

2 + 2 = ( boldsymbol {x} )

Wir wissen, dass 2 + 2 = 4 ist, was bedeutet, dass (x ) gleich 4 sein muss. Die Lösung der Gleichung ist daher ( boldsymbol {x} ) = 4 .

Welches Polygon hat sechs Seiten und sechs Winkel
5 + 3> 3 + ( boldsymbol {x} )



Wir wissen, dass 5 + 3 = 8. Die Gleichung sagt uns, dass 8 größer als (>) 3 + (x ) ist.

Wir müssen neu anordnen die Gleichung so, dass (x ) auf der einen Seite und alle Zahlen auf der anderen Seite sind, andernfalls können wir den Wert von (x ) nicht finden. Die Regel für das Neuanordnen von Gleichungen lautet Was Sie auf der einen Seite tun, müssen Sie auch auf der anderen Seite tun . Es gibt mehr dazu weiter unten.

Nehmen Sie 3 von beiden Seiten weg (8 - 3 = 5), dann wird die Gleichung

5> ( boldsymbol {x} )



Wir können sehen, dass (x ) kleiner als 5 sein muss ( (x )<5 ).

Wir können nicht genauer sagen, was (x ) mit den Informationen ist, die wir erhalten. In der Anfangsgleichung, die wir als Beispiel verwendet haben, haben wir jedoch (x ) durch 4 ersetzt, was in der Tat weniger als 5 ist.

Es ist keine Magie, ein lockiges 'x' ( ({x} )) zu verwenden. Sie können jedoch einen beliebigen Buchstaben verwenden ({x} ) und ({Y} ) werden üblicherweise verwendet, um die unbekannten Elemente von Gleichungen darzustellen.



Variablen und Konstanten


Ein Buchstabe, der verwendet wird, um eine Zahl in der Algebra zu ersetzen, heißt a Variable , weil es bei jeder Verwendung für unterschiedliche Zahlen steht.

Dies unterscheidet sich von einem bestimmten Buchstaben, der immer verwendet wird, um dieselbe Zahl zu ersetzen, z. B. ( pi ) (pi), der immer 3.142 ist. Ein solcher Brief heißt a Konstante .

In einer algebraischen Gleichung sind beliebige Zahlen auch Konstanten, da sie immer gleich bleiben.

Wenn Sie eine Gleichung mit einer Konstanten lösen müssen, wird Ihnen immer deren Wert mitgeteilt.

Polygon mit 5 Seiten und 5 Winkeln

Begriffe einer Gleichung

Ein Term ist ein Teil der Gleichung, der von anderen Teilen getrennt ist, normalerweise durch ein Additions- (+) oder Subtraktionssymbol (& minus;).

Eine Gruppe von Begriffen wird als Ausdruck bezeichnet, ähnlich wie ein mathematischer Satz oder eine Beschreibung. Einige mathematische Ausdrücke können ziemlich beängstigend aussehen, voller Zahlen und Buchstaben, von denen einige sogar griechisch sein können. Der Schlüssel besteht jedoch darin, jeden Begriff einzeln zu betrachten und ihn in Dinge zu zerlegen, die Sie kennen oder die Sie ausarbeiten können. Wenn Sie dies tun, werden Sie verstehen, dass es nicht immer so schwer ist, wie Sie zuerst gedacht haben.

Begriffe können nur Zahlen sein, oder sie können nur Buchstaben sein, oder sie können eine Kombination von Buchstaben und Zahlen sein, wie 2 ( boldsymbol {x} ), 3 ( boldsymbol {xy} ) oder 4 ( boldsymbol {x} )zwei.

In einem Begriff mit Buchstaben und Zahlen wird die Zahl als bezeichnet Koeffizient und der Brief ist der Variable . Der Koeffizient ist einfach ein „Multiplikator“ - er gibt an, wie viele von etwas (der Variablen) Sie in diesem Begriff haben.

Begriffe, die genau dieselbe Variable haben, sollen sein wie Begriffe und Sie können sie addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren, als wären sie einfache Zahlen. Zum Beispiel:

Die Gleichung 2 (x ) + 3 (x ) ist gleich 5 (x ), einfach 2 Lose (x ) plus 3 Lose (x ), um 5 Lose ( x ) (5 (x )).

$$ 5xy - xy = 4xy $$ $$ 5y × 3y = 15y ^ 2 $$

Sie kann nicht Addiere oder subtrahiere 'im Gegensatz zu Begriffen'. Sie können sie jedoch multiplizieren, indem Sie Variablen kombinieren und die Koeffizienten miteinander multiplizieren.

So ist beispielsweise 3 (y ) × 2 (x ) = 6 (xy ) (weil 6 (xy ) einfach 6 mal (x ) mal (y ) bedeutet).

Sie können andere Begriffe teilen, indem Sie sie in Brüche umwandeln und aufheben. Beginnen Sie mit den Zahlen und dann mit den Buchstaben.

Also zum Beispiel:

( large {6xy ÷ 3x} )

$$ frac {6xy} {3x} $$ = $$ frac {2xy} {x} $$ = $$ frac {2y} {1} $$ = $$ 2y $$
Teilen Sie oben
und unten
um 3
Teilen Sie oben
und unten
von x
Die 1 kann sein
ignoriert weil
alles geteilt
von 1 ist selbst

Gleichungen neu anordnen und lösen

In vielen Fällen müssen Sie wahrscheinlich eine Gleichung lösen neu anordnen es. Dies bedeutet, dass Sie die Begriffe verschieben müssen, damit Sie nur Begriffe erhalten, die (x ) auf einer Seite des Gleichheitssymbols betreffen (z. B. =,> oder<) and all the numbers on the other.

Dieser Prozess wird manchmal aufgerufen isolieren (x ) .

Sie können Gleichungen durch eine Reihe einfacher Regeln neu anordnen:

  1. Was auch immer Sie mit einer Seite der Gleichung tun, Sie Muss Mach dasselbe mit dem anderen. Auf diese Weise erhalten Sie die Beziehung zwischen ihnen. Es spielt keine Rolle, was Sie tun, ob Sie 2 wegnehmen, 57 addieren, mit 150 multiplizieren oder durch (x ) dividieren. Solange Sie es auf beiden Seiten tun, bleibt die Gleichung korrekt. Es kann hilfreich sein, sich Ihre Gleichung als eine Reihe von Skalen oder eine Wippe vorzustellen, die immer ausgeglichen sein muss.

  2. Unsere Seite auf Zusatz erklärt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge Sie hinzufügen, die Antwort ist immer noch dieselbe. Dies bedeutet, dass Sie den Ausdruck neu anordnen können, um das zu setzen wie Begriffe zusammen und machen es einfacher zu addieren. Dies gilt für Subtraktion auch, solange Sie sich von unserer Seite an erinnern Positive und negative Zahlen das subtrahieren ist das gleiche wie das Hinzufügen einer negativen Zahl . So zum Beispiel 10 & minus; 3 = 10 + (-3).

  3. Gleichungen funktionieren nach BODMAS Denken Sie also auch daran, die Berechnung in der richtigen Reihenfolge durchzuführen.

    wie man eine effektive Präsentation macht
  4. Bringen Sie Ihre Gleichung immer in die einfachste Form: Multiplizieren Sie Klammern, teilen Sie sie auf, heben Sie Brüche auf und addieren / subtrahieren Sie alle ähnlichen Begriffe.

Arbeitsbeispiele:

Versuchen Sie, diese Gleichungen für (x ) zu lösen. Klicken Sie auf die Kästchen, um die Funktionsweise und Antworten anzuzeigen.

$$ large {x + 3 = 5 × 4} $$
  • Führen Sie wie bei jeder Berechnung zuerst die Multiplikation durch. 5 × 4 = 20
  • Also (x ) + 3 = 20
  • Der nächste Schritt besteht darin, drei von beiden Seiten wegzunehmen
  • (x ) + 3 - 3 = 20 - 3
  • 20 - 3 = 17.

Dies lässt Sie mit der Antwort: (x ) = 17

$$ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$
  • Führen Sie die Berechnung zuerst auf der rechten Seite durch, da keine Buchstaben enthalten sind. Es gibt keine Klammern, daher wird zuerst multipliziert und dann addiert.
  • 6 × 5 = 30 und 30 + 3 = 33.
  • Die Berechnung auf der linken Seite ist eine zusätzliche Berechnung, sodass Sie die Begriffe verschieben können, bis Sie alle Zahlen zusammen haben:
    5 + (x ) + 21 = (x ) + 5 + 21
    und 5 + 21 = 26.
  • Jetzt haben Sie also 26 + (x ) = 33
  • Jetzt können Sie 26 von beiden Seiten wegnehmen
  • 26 + (x ) - 26 = (x ) = 33 - 26
  • Und 33 - 26 = 7.

Daher ist (x ) = 7

$$ large {x ^ 2 + 5 = 13 - 4} $$
  • Ordnen Sie neu an, um alle Zahlen auf einer Seite zu erhalten, indem Sie fünf von jeder Seite wegnehmen.
  • Jetzt hast du
    (x )zwei= 13 - 4 - 5, also
  • (x )zwei= 4
  • Jetzt müssen Sie die Quadratwurzel beider Seiten ziehen, da Sie den Wert von (x ) und nicht (x ) ermitteln möchten.zwei.
  • Sie wissen, dass 2 × 2 = 4 ist, was bedeutet, dass die Quadratwurzel von 4 = 2 ist

(x ) = 2



Gleichungen und Graphen

Jede Gleichung, in der es eine Beziehung zwischen nur zwei Variablen gibt, (x ) und (y ), kann als Liniendiagramm gezeichnet werden, wobei (x ) entlang der horizontalen Achse verläuft (manchmal auch als x-Achse bezeichnet) ) und (y ) auf der vertikalen Achse (manchmal auch als y-Achse bezeichnet).

Sie können die Punkte in Ihrem Diagramm berechnen, indem Sie die Gleichung für bestimmte Werte von (x ) lösen.

Beispiele:

( large {y = 2x + 3} )
(x ) 0 1 zwei 3 4 5 6
calc 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3
(Y ) 3 5 7 9 elf 13 fünfzehn
Verwenden eines Diagramms, um den Wert von y basierend auf einem bestimmten Wert von x zu berechnen.

Der Vorteil des Zeichnens eines Diagramms einer Gleichung besteht darin, dass Sie damit den Wert von (y ) für einen bestimmten Wert von (x ) oder tatsächlich (x ) für einen bestimmten Wert von berechnen können (y ), indem Sie sich die Grafik ansehen.

Was ist in diesem Beispiel der Wert von (x ), wenn (y ) = 10 ist?

Bewegen Sie die y-Achse nach oben, bis Sie 10 erreichen, und dann horizontal, bis Sie die Linie im Diagramm erreichen. Bewegen Sie sich an diesem Punkt nach unten, bis Sie die x-Achse erreichen. Dies wird durch die roten Linien in der Grafik angezeigt, und Sie können sehen, dass bei (y ) = 10 (x ) = 3,5.


( large {y = x ^ 2 + x + 4} )

Wenn (x ) = 0 ist, ist (y ) = 0 + 0 + 4 = 4
wenn (x ) = 1, (y ) = 1 + 1 + 4 = 6
wenn (x ) = 2, (y ) = 4 + 2 + 4 = 10
und so weiter...

(x ) 0 1 zwei 3 4 5 6 7 8 9 10
(Y ) 4 6 10 16 24 3. 4 46 60 76 94 114
Ein Graph in Algebra. Verwenden Sie den Wert von x, um den Wert von y zu ermitteln.

Extrapolieren


Ein weiterer Vorteil des Zeichnens Ihrer Gleichung in einem Diagramm besteht darin, dass Sie Ihre Daten (numerische Informationen) extrapolieren können, um größere Werte von (x ) oder (y ) zu ermitteln. Extrapolieren bedeutet, dass Sie Ihr Diagramm erweitern, indem Sie die Linie fortsetzen, die Sie aus Ihren Daten gezogen haben, um Werte von (x ) und (y ) über den bereits vorhandenen Datenbereich hinaus zu schätzen.

Im ersten Beispiel erzeugt die Gleichung eine gerade Linie, sodass die Extrapolation dieses Graphen einfach ist. Bei der Extrapolation eines Diagramms, das keine gerade Linie ist, wie im zweiten Beispiel, ist jedoch Vorsicht geboten.

wie viel Prozent von x ist y

Abschließend

Auf dieser Seite wurde erklärt, wie einfache Gleichungen und die Beziehung zwischen Gleichungen und Diagrammen gelöst werden. Auf diese Weise erhalten Sie eine alternative Möglichkeit, Gleichungen zu lösen.

Sie können jetzt mit komplexeren Gleichungen fortfahren, einschließlich simultaner Gleichungen und quadratischer Gleichungen.


Weiter:
Simultane und quadratische Gleichungen
Wahrscheinlichkeit eine Einführung