Gebogene Formen

Siehe auch: Polygone

Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

Unsere Seite auf Polygone deckt Formen mit geraden Linien ab, die auch als „ebene Formen“ bezeichnet werden. Auf dieser Seite erfahren Sie mehr über Formen mit Kurven, insbesondere zweidimensionale.

Zweidimensionale gekrümmte Formen umfassen Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln sowie Bögen, Sektoren und Segmente. Dreidimensionale gekrümmte Formen, einschließlich Kugeln, Zylinder und Kegel, werden auf unserer Seite unter behandelt Dreidimensionale Formen .

Zweidimensionale gekrümmte Formen

Eigenschaften eines Kreises. Umfang, Durchmesser und Radius.

Kreise

Die wahrscheinlich häufigste zweidimensionale gekrümmte Form ist ein Kreis.



Um mit Kreisen (und anderen gekrümmten Formen) in der Geometrie arbeiten zu können, ist es wichtig, die Schlüsseleigenschaften eines Kreises zu verstehen:

welche Aussage ist in einem formalen Ton geschrieben
  • Eine Linie direkt über dem Mittelpunkt eines Kreises ist die Durchmesser .



  • Die Hälfte des Durchmessers ist die Radius .

  • Die Linie um den Rand eines Kreises ist die Umfang .

Jeder Punkt auf dem Umfang eines Kreises ist genau so weit vom Mittelpunkt des Kreises entfernt wie jeder andere Punkt auf dem Umfang.

Einführung von π (pi)


π oder pi ist ein griechischer Buchstabe. In der Mathematik wird es verwendet, um eine bestimmte Konstante darzustellen, die auch eine irrationale oder unendliche Zahl ist (siehe unsere Seite auf Spezielle Nummern für mehr).

π hat einen Wert von 3,142 (obwohl dies unendlich ist, ist dies eine Annäherung an seinen genauen Wert).


π ist wichtig, weil es zur Berechnung des Umfangs und der Fläche eines Kreises verwendet wird.

Der Umfang eines Kreises entspricht π x Durchmesser oder 2 × π × Radius (abgekürzt als 2πr).

Die Fläche eines Kreises entspricht π × Radiuszwei. Diese Formel wird normalerweise mit πr abgekürztzwei

Weitere Informationen zum Bereich finden Sie auf unserer Seite Fläche berechnen .

Sektoren und Segmente

Sektoren und Segmente sind 'Scheiben' eines Kreises.



Sektoren sind wie ein Stück Pizza geformt, mit einer gekrümmten Kante und jeder geraden Seite, die die gleiche Länge hat wie der Radius des Kreises oder der Pizza, aus der es geschnitten wurde. Kreisdiagramme bestehen aus einer Reihe von Sektoren, deren Größe sich auf die angezeigten Daten bezieht.

Ein Sektor kann eine beliebige Größe haben, ein Sektor, der ein halber Kreis (180 °) ist, wird jedoch als a bezeichnet Halbkreis , während ein Viertelkreissektor (90 °) als a bezeichnet wird Quadrant .

ZU Segment ist der gekrümmte Teil eines Sektors, der Teil, der übrig bleibt, wenn Sie das Dreieck aus einem Sektor entfernen. Segmente bestehen aus zwei Zeilen. Das Bogen (ein Abschnitt des Kreisumfangs - siehe unten) und a Akkord - die gerade Linie, die die beiden Enden des Bogens verbindet.

Kreissektoren einschließlich Halbkreise (Halbkreise) und Quadranten (Viertelkreise). Segmente aus Kreis, Akkord und Bogen.

Ein Sektor ist ein Bruchteil eines Kreises und daher ist seine Fläche ein Bruchteil der Fläche des gesamten Kreises. Um die Fläche eines Sektors zu berechnen, müssen Sie dessen zentralen Winkel θ und den Radius kennen.



Die Fläche eines Sektors kann dann unter Verwendung der folgenden Formel berechnet werden:

πrzwei× (θ ÷ 360)

Bögen

Länge eines Kreisbogens. 2πr × (θ ÷ 360)

Ein Abschnitt des Kreisumfangs wird als bezeichnet Bogen .

Um die Länge eines Bogens zwischen den Punkten A und B zu berechnen, müssen Sie den Winkel in der Mitte zwischen den Punkten A und B kennen. Θ (Theta) ist das Symbol, das zur Darstellung dieses Winkels zwischen A und B verwendet wird. In unserem Beispiel Wir verwenden Grad für θ, aber es ist auch möglich, Bogenmaß zu verwenden.

Sie müssen auch den Radius (r) des Bogens kennen.

Da der gesamte Kreis 360 ° beträgt, entspricht die Länge des Bogens dem zentralen Winkel (θ) geteilt durch 360, multipliziert mit dem Umfang des gesamten Kreises (2πr).

2πr × (θ ÷ 360)

was ist das symbol für bedeuten

Beispiel:



r = 10 cm, θ = 88 °, π = 3,14

Bogenlänge = 2 × 3,14 × 10 × (88 × 360) = 62,8 × 0,24 = 15,07 cm .

Grad oder Bogenmaß?


Die am häufigsten verwendete Maßeinheit für Winkel ist Grad. Sie können jedoch auch auf Berechnungen stoßen, bei denen der Winkel im Bogenmaß gemessen wird. Dies ist die Standard-SI-Einheit für die Messwinkel. Weitere Informationen zum Bogenmaß finden Sie in unserer Einführung in Winkel Seite. Weitere Informationen zum SI-Messsystem finden Sie auf unserer Seite unter Messsysteme .

2π Radiant ist gleich 360 °, daher lautet die Formel für die Bogenlänge bei θ im Bogenmaß einfach rθ.


Ellipsen

Eine Ellipse ist eine Kurve auf einer Ebene (oder ebenen Fläche), die zwei Brennpunkte umgibt. Eine gerade Linie, die von einem Brennpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kurve und dann zum anderen Brennpunkt gezogen wird, hat für jeden Punkt auf der Kurve die gleiche Länge.

Ellipsen sind in der Astronomie und Physik sehr wichtig, da jeder Planet eine elliptische Umlaufbahn mit der Sonne als einem der Schwerpunkte hat.

Ein Kreis ist eine bestimmte Form der Ellipse, bei der sich die beiden Brennpunkte an derselben Stelle befinden (in der Mitte des Kreises). Ellipsen können auch als 'oval' bezeichnet werden, aber das Wort 'oval' ist in der Mathematik viel weniger präzise und bedeutet einfach 'breit eiförmig'.

Eigenschaften einer Ellipse. Das Diagramm enthält die Haupt- und Nebenachse mit Eckpunkten und Fokuspunkten.

Eigenschaften einer Ellipse:

Eine Ellipse hat zwei Hauptachsen und ist um sie herum symmetrisch.

Die längere Achse heißt Hauptachse ;; Die kürzere Achse ist die Nebenachse .

Die vier Punkte, an denen die Achsen den Umfang kreuzen, werden als bezeichnet Eckpunkte (singulärer Scheitelpunkt). Die beiden Punkte, an denen die Nebenachse den Umfang kreuzt, werden als bezeichnet Co-Vertices .

Die Zwei Schwerpunkte (oder Brennpunkte, manchmal auch als Locus oder Loci bezeichnet) liegen beide auf der Hauptachse und sind gleich weit vom Zentrum entfernt.

Der Abstand von einem Brennpunkt zu einem beliebigen Punkt am Umfang und zurück zum anderen Brennpunkt (die blau gepunktete Linie in unserem Diagramm) entspricht der Länge zwischen den Scheitelpunkten auf der Hauptachse.

Das Ausmaß, in dem eine Ellipse verlängert wird, wird durch ihre definiert Exzentrizität . Die Formel zur Berechnung der Exzentrizität lautet:

Exzentrizität = Entfernung vom Zentrum zum Brennpunkt
Abstand vom Zentrum zum Scheitelpunkt auf der Hauptachse

Die Exzentrizität eines Kreises ist Null, weil sich die Brennpunkte genau an derselben Stelle befinden (im Zentrum) (wir sagen auch, dass sie es sind zufällig ). Der Abstand vom Zentrum zum Brennpunkt ist daher Null. Die Exzentrizität nimmt zu, wenn die Ellipse länger wird, ist jedoch immer kleiner als 1. Wenn der Abstand vom Zentrum zum Brennpunkt dem Abstand vom Zentrum zum Scheitelpunkt entspricht, ist die Ellipse zu einer geraden Linie geworden und ihre Exzentrizität ist gleich 1.

Die Fläche einer Ellipse wird berechnet als π (½ x Nebenachse) (½ x Hauptachse).


Parabeln, Hyperbeln und die Beziehung zwischen gekrümmten Formen

Parabeln und Hyperbeln sind mehr Formen gekrümmter Formen, aber komplizierter zu definieren als Kreise und Ellipsen. Sie sind eng miteinander und mit Kreisen und Ellipsen verwandt, weil sie alle sind Kegelschnitte d.h. Formen, die durch Schneiden durch einen Kegel mit einer flachen Ebene gebildet werden.

Die Eigenschaften von Kegelschnitten wurden seit Jahrtausenden untersucht und waren für antike griechische Mathematiker wie Euklid und Archimedes von Interesse. Das folgende Diagramm zeigt einen Doppelkegel, ähnlich einer Sanduhr.

  • Wenn die Ebene den Kegel in einem Winkel parallel zur Basis des Kegels schneidet (d. H. Senkrecht zu seiner vertikalen Achse), dann a Kreis gebildet wird (oben links).

  • Wenn das Flugzeug den Kegel schneidet parallel zur Seite des Kegels , dann ein Satellitenschüssel gebildet wird (Mitte).

  • Wenn die Ebene den Kegel in einem Winkel zwischen diesen beiden schneidet, so dass sie an allen Stellen Kontakt mit den Seiten des Kegels hält, dann ein Ellipse gebildet wird (unten links).

    was bedeutet der begriff kommunikation
  • Wenn die Ebene beide Kegel in einem vertikaleren Winkel durchschneidet, ist der Abschnitt a Hyperbel .

Parabeln und Hyperbeln sind beide symmetrische Kurven mit einer einzigen Symmetrieachse und a Scheitel (niedrigster Punkt der U-Form der Kurve).

Alle Parabeln haben die gleiche charakteristische Form, egal wie groß sie sind. Wenn Sie vom Scheitelpunkt immer weiter in Richtung Unendlichkeit herauszoomen, ändert sich die Parabel von einer Schalenform in eine Haarnadelform, wobei ihre Arme immer näher an die Parallele rücken.

Im Gegensatz zu Parabeln Hyperbeln können verschiedene Formen haben , weil der Schnittwinkel stark variieren kann. Sowohl Parabeln als auch Hyperbeln sind unendlich, aber die Arme einer Hyperbel werden niemals parallel.

Kegelschnitte. Wie ein Kegel geschnitten werden kann, um einen Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel zu erzeugen.

Reale Anwendungen von konischen Abschnitten


Es gibt viele reale Anwendungen von konischen Abschnitten.

  • Sie werden in Linsen für Teleskope und die Reflektoren in Scheinwerfern oder Scheinwerfern verwendet, um einen Lichtstrahl zu erzeugen.
  • Die komplexe Mathematik, die mit diesen Formen verbunden ist, ist für die Berechnung der Umlaufbahnen von Satelliten von entscheidender Bedeutung.
  • In der Technik haben die Kabel auf der Golden Gate Bridge die Form perfekter Parabeln, und die Tragflächen in Flugzeugen basieren auf Ellipsen.
  • Im Sport ist der Bogen, dem ein Fußball-, Baseball- oder Cricketball folgt, ebenfalls eine Parabel. Daher ist das Verständnis konischer Abschnitte für die Analyse der Spielerleistung von entscheidender Bedeutung - was mit dem in Profisport investierten Geld immer wichtiger wird.
  • Die organische Form dieser Formen verleiht ihnen auch Verwendung in der Kunst und Architektur. Beispiele hierfür sind das Cybertecture Egg in Mumbai, der Gateway Arch in Missouri und zahlreiche Arbeiten von Bildhauern wie Richard Serras Torqued Ellipses im Guggenheim Museum.

Fähigkeiten, die Sie brauchen?

Kreise sind Teil der Grundgeometrie, und Sie müssen wirklich wissen, wie Sie die grundlegenden Eigenschaften dieser Kreise berechnen.

Es ist jedoch wahrscheinlich unwahrscheinlich, dass Sie mehr tun müssen, als sich der Existenz der anderen Formen bewusst zu sein, es sei denn, Sie möchten sich ernsthaft mit Technik, Physik oder Astronomie befassen.

Sie werden es vielleicht zu schätzen wissen, dass die konkaven Kurven eines Kraftwerkskühlturms oder das Licht einer nach unten gerichteten Halogenlampe die Form einer Hyperbel haben.

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