Durchschnittswerte: Mittelwert, Median und Modus

Siehe auch: Prozentsätze

Der Begriff ' durchschnittlich' tritt häufig in allen möglichen alltäglichen Kontexten auf. Zum Beispiel könnten Sie sagen: Ich habe heute einen durchschnittlichen Tag 'Was bedeutet, dass Ihr Tag weder besonders gut noch schlecht ist, es ist ungefähr normal. Wir können Menschen, Gegenstände und andere Dinge auch als „ durchschnittlich '.

Der Begriff 'Durchschnitt' bezieht sich auf den 'mittleren' oder 'zentralen' Punkt. In der Mathematik bezieht sich der Begriff auf eine Zahl, die eine typische Darstellung einer Gruppe von Zahlen (oder Datensätzen) ist. Durchschnittswerte können auf verschiedene Arten berechnet werden - diese Seite behandelt den Mittelwert, den Median und den Modus. Wir enthalten einen Durchschnittsrechner sowie eine Erklärung und Beispiele für jeden Durchschnittstyp.

Die am weitesten verbreitete Methode zur Berechnung eines Durchschnitts ist der „Mittelwert“. Wenn der Begriff „Durchschnitt“ im mathematischen Sinne verwendet wird, bezieht er sich normalerweise auf den Mittelwert, insbesondere wenn keine anderen Informationen angegeben werden.




Kurzanleitung:




Mittelwert berechnen

Addiere die Zahlen und dividiere durch die Anzahl der Zahlen.
(Die Summe der Werte geteilt durch die Anzahl der Werte).


Den Median bestimmen

Ordnen Sie die Zahlen der Reihe nach an und suchen Sie die mittlere Zahl.
(Der mittlere Wert, wenn die Werte eingestuft werden) .


So bestimmen Sie den Modus

Zählen Sie, wie oft jeder Wert auftritt. Der am häufigsten vorkommende Wert ist der Modus.
(Der am häufigsten vorkommende Wert)


Mittelwert-, Median- und Modusrechner



Verwenden Sie diesen Rechner, um den Mittelwert, den Median und den Modus einer Reihe von Zahlen zu ermitteln.


Bedeuten

Mittelwert (x-Balken)

Das mathematische Symbol oder die Notation für den Mittelwert lautet „x-bar“. Dieses Symbol erscheint auf wissenschaftlichen Taschenrechnern sowie in mathematischen und statistischen Notationen.

Das ' bedeuten ' oder ' arithmetisches Mittel Ist die am häufigsten verwendete Form des Durchschnitts. Um den Mittelwert zu berechnen, benötigen Sie eine Reihe verwandter Zahlen (oder Datensätze). Zur Berechnung des Mittelwerts werden mindestens zwei Zahlen benötigt.

Die Zahlen müssen in irgendeiner Weise miteinander verknüpft oder in Beziehung gesetzt werden, um ein aussagekräftiges Ergebnis zu erzielen - zum Beispiel Temperaturwerte, Kaffeepreis, Anzahl der Tage im Monat, Anzahl der Herzschläge pro Minute, Testnoten der Schüler usw.


Um beispielsweise den (mittleren) Durchschnittspreis eines Brotlaibs im Supermarkt zu ermitteln, notieren Sie zunächst den Preis für jede Brotart:

  • Weiß: £ 1
  • Vollkorn: £ 1,20
  • Baguette: £ 1.10

Als nächstes addieren Sie (+) die Preise £ 1 + £ 1,20 + £ 1,10 = £ 3,30

Teilen Sie dann (÷) Ihre Antwort durch die Anzahl der Brote (3).

£ 3,30 ÷ 3 = £ 1,10.

Der Durchschnittspreis für einen Laib Brot in unserem Beispiel ist £ 1.10 .


Die gleiche Methode gilt für größere Datenmengen:

Wie berechnet man die Veränderung im Laufe der Zeit?

Um die durchschnittliche Anzahl von Tagen in einem Monat zu berechnen, würden wir zunächst ermitteln, wie viele Tage in einem Monat vorhanden sind (vorausgesetzt, es handelt sich nicht um ein Schaltjahr):

Monat Tage
Januar 31
Februar 28
März 31
April 30
Kann 31
Juni 30
Juli 31
August 31
September 30
Oktober 31
November 30
Dezember 31



Als nächstes addieren wir alle Zahlen: 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 365

Schließlich teilen wir die Antwort durch die Anzahl der Werte in unserem Datensatz. In diesem Fall sind es 12 (einer für jeden gezählten Monat).

Der mittlere Durchschnitt ist also 365 ÷ 12 = 30,42 .

Die durchschnittliche Anzahl von Tagen in einem Monat beträgt daher 30,42.


Dieselbe Berechnung kann verwendet werden, um den Durchschnitt einer beliebigen Anzahl von Zahlen zu ermitteln, beispielsweise das Durchschnittsgehalt in einer Organisation:



Nehmen wir an, die Organisation hat 100 Mitarbeiter in einer von 5 Klassen:

Klasse Jahresgehalt Anzahl der
Angestellte
1 £ 20.000 einundzwanzig
zwei 25.000 Pfund 25
3 30.000 Pfund 40
4 £ 50.000 9
5 £ 80.000 5

In diesem Beispiel können wir vermeiden, das Gehalt jedes einzelnen Mitarbeiters hinzuzufügen, da wir wissen, wie viele in jeder Kategorie sind. Anstatt also einundzwanzig Mal 20.000 Pfund zu schreiben, können wir multiplizieren, um unsere Antworten zu erhalten:

Klasse Jahresgehalt Anzahl der
Angestellte
Gehalt x
Angestellte
1 £ 20.000 einundzwanzig £ 420.000
zwei 25.000 Pfund 25 £ 625.000
3 30.000 Pfund 40 £ 1.200.000
4 £ 50.000 9 £ 450.000
5 £ 80.000 5 £ 400.000

Fügen Sie als Nächstes die Werte in der Spalte Gehalt x Mitarbeiter hinzu, um eine Gesamtsumme von £ 3.095.000 zu erhalten, und dividieren Sie diese Zahl schließlich durch die Anzahl der Mitarbeiter (100), um das Durchschnittsgehalt zu ermitteln:

£ 3.095.000 ÷ 100 = £ 30.950.

Kurzer Tipp:


Die Gehälter im obigen Beispiel betragen alle ein Vielfaches von 1.000 GBP - sie enden alle mit 000 .

Sie können die Tausender bei der Berechnung ignorieren, solange Sie daran denken, sie am Ende wieder hinzuzufügen.

In der ersten Zeile der obigen Tabelle wissen wir, dass einundzwanzig Personen ein Gehalt von 20.000 Pfund erhalten, anstatt mit 20.000 Pfund zu arbeiten.

21 x 20 = 420 Ersetzen Sie dann die 000, um 420.000 zu erhalten.



Manchmal kennen wir vielleicht die Summe unserer Zahlen, aber nicht die einzelnen Zahlen, aus denen die Summe besteht.

In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass 122,50 £ durch den Verkauf von Limonade in einer Woche erzielt werden.

Wir wissen nicht, wie viel Geld jeden Tag verdient wurde, nur die Summe am Ende der Woche.

Was wir herausfinden können, ist der Tagesdurchschnitt: £ 122,50 ÷ 7 (Gesamtgeld geteilt durch 7 Tage).

122,5 ÷ 7 = 17,50 .

Wir können also sagen, dass wir im Durchschnitt 17,50 £ pro Tag verdient haben.

Wir können auch Durchschnittswerte verwenden, um einen Hinweis auf wahrscheinliche zukünftige Ereignisse zu erhalten - Wenn wir wissen, dass wir in einer Woche durchschnittlich 17,50 GBP pro Tag mit dem Verkauf von Limonade verdient haben, können wir davon ausgehen, dass wir in einem Monat Folgendes verdienen würden:

£ 17.50 × Anzahl der Tage in diesem Monat

17,50 × 31 = £ 542,50

Wir könnten jeden Monat durchschnittliche Verkaufszahlen aufzeichnen, um den Umsatz für zukünftige Monate und Jahre vorherzusagen und unsere Leistung zu vergleichen. Wir könnten Begriffe wie „ überdurchschnittlich '- bezieht sich auf einen Zeitraum, in dem der Umsatz über dem Durchschnittsbetrag lag, und ebenfalls auf' unterdurchschnittlich ', wenn der Umsatz unter dem Durchschnittsbetrag lag.


Durchschnittsgeschwindigkeit

Verwenden von Geschwindigkeit und Zeit als Daten, um den Mittelwert zu ermitteln:

Wenn Sie in 1 Stunde und 20 Minuten 85 Meilen zurückgelegt haben, wie hoch war Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?

Das erste, was Sie mit diesem Problem tun müssen, ist, die Zeit in Minuten umzurechnen. Die Zeit funktioniert im Dezimalsystem nicht, da eine Stunde 60 Minuten und nicht 100 Minuten enthält. Daher müssen wir unsere Einheiten standardisieren, bevor wir beginnen können:

1 Stunde 20 Minuten = 60 Minuten + 20 Minuten = 80 Minuten.

Teilen Sie als nächstes die zurückgelegte Strecke durch die benötigte Zeit: 85 Meilen ÷ 80 Minuten .

85 ≤ 80 = 1,0625.

Unsere Durchschnittsgeschwindigkeit betrug daher 1,0625 Meilen pro Minute.

Konvertieren Sie diese Zahl zurück in Stunden, indem Sie sie mit 60 multiplizieren (die Anzahl der Minuten pro Stunde).

1,0625 × 60 = 63,75 Meilen pro Stunde (Meilen pro Stunde).

Für Tabellenkalkulationsbenutzer:


Verwenden Sie die Funktion, um den mittleren Durchschnitt in einer Tabelle zu berechnen. In der folgenden Beispielformel wird davon ausgegangen, dass sich Ihre Daten in den Zellen A1 bis A10 befinden:

= Durchschnitt (A1: A10)


Median

Der Median ist die mittlere Zahl in einer Liste sortierter Zahlen.

Berechnung des Medians von: 6, 13, 67, 45, 2

Ordnen Sie zuerst die Nummern in der richtigen Reihenfolge an (dies wird auch als bezeichnet Rangfolge )

2, 6, 13 45, 67

dann - finde die mittlere Zahl

Median = 13, die mittlere Zahl in der Rangliste.

Wenn es eine gibt gerade Zahl von Zahlen gibt es keine einzelne mittlere Zahl, sondern ein Paar von mittleren Zahlen.

In solchen Fällen ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen:

Zum Beispiel:

6, 13, 67, 45, 2, 7.

In der Reihenfolge angeordnet (Rang) = 2, 6, 7 , 13 45, 67

Die mittleren Zahlen sind 7 und 13.

Der Median bezieht sich auf eine einzelne Zahl, daher berechnen wir die bedeuten der beiden mittleren Zahlen:

7 + 13 = 20
20 ÷ 2 = 10

Deshalb, die Median von 6, 13, 67, 45, 2, 7 ist 10 .


Modus

Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert in einer Reihe von Werten. Der Modus ist interessant, da er für jede Art von Daten verwendet werden kann, nicht nur für Zahlen.

In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass Sie eine Packung mit 100 Luftballons gekauft haben. Die Packung besteht aus 5 verschiedenen Farben. Sie zählen jede Farbe und stellen fest, dass Sie Folgendes haben:

18 Netzwerk
12 Blau
24 Orange
25 Lila
21 Grün

Der Modus unserer Ballonprobe ist lila, da es mehr lila Ballons (25) gibt als bei jedem anderen Farbballon.


So ermitteln Sie den Modus für die Anzahl der Tage in jedem Monat:

Monat Tage
Januar 31
Februar 28
März 31
April 30
Kann 31
Juni 30
Juli 31
August 31
September 30
Oktober 31
November 30
Dezember 31

7 Monate haben 31 Tage, 4 Monate haben insgesamt 30 Tage und nur 1 Monat hat insgesamt 28 Tage (29 in einem Schaltjahr).

Der Modus ist daher 31.


Einige Datensätze können mehr als einen Modus haben:

1,3,3,4,4,5 - hat zum Beispiel zwei am häufigsten vorkommende Zahlen (3 & 4), die als a bekannt sind bimodal einstellen. Datensätze mit mehr als zwei Modi werden als bezeichnet multimodal Datensätze.

Wenn ein Datensatz nur enthält einzigartig Zahlen, die dann den Modus berechnen, sind problematischer.

Es ist normalerweise völlig akzeptabel zu sagen, dass es keinen Modus gibt Wenn jedoch ein Modus gefunden werden muss, besteht die übliche Methode darin, Nummernkreise zu erstellen und dann den mit den meisten Punkten zu zählen. Zum Beispiel sehen wir aus einem Datensatz, der die Geschwindigkeit vorbeifahrender Autos zeigt, dass von 10 Autos die aufgezeichneten Geschwindigkeiten sind:

wie viele minuten sind anderthalb

40, 34, 42, 38, 41, 50, 48, 49, 33, 47

Diese Nummern sind alle eindeutig (jede kommt nur einmal vor), es gibt keinen Modus. Um einen Modus zu finden, erstellen wir Kategorien auf einer gleichmäßigen Skala:

30-32 | 33-35 | 36-38 | 39-41 | 42-44 | 45-47 | 48-50

Berechnen Sie dann, wie viele der Werte in jede Kategorie fallen, wie oft eine Zahl zwischen 30 und 32 vorkommt usw.

30-32 = 0
33-35 = 2
36-38 = 1
39-41 = 2
42-44 = 1
45-47 = 1
48-50 = 3

Die Kategorie mit den meisten Werten ist 48-50 mit 3 Werten.

Wir können den Mittelwert der Kategorie verwenden, um den Modus bei zu schätzen 49.

Diese Methode zur Berechnung des Modus ist nicht ideal, da sich der Modus abhängig von den von Ihnen definierten Kategorien ändern kann.

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