Eine Einführung in kartesische Koordinatensysteme

Siehe auch: Grafiken und Diagramme

Unabhängig davon, ob Sie Daten in einem Liniendiagramm darstellen, eine Route mit dem Boot entlang der Küste zeichnen oder einfach den Standort eines Parkplatzes auf einer Karte eines Nationalparks finden, müssen Sie die Punktkoordinaten kennen.

Ein Punkt ist a einzelner Standort irgendwo. Es kann sich um eine gerade Linie (eine Dimension), eine zweidimensionale Oberfläche oder handeln Flugzeug (zum Beispiel ein Punkt auf einem Blatt Papier) oder im dreidimensionalen Raum (z. B. die Position eines Flugzeugs im Flug zu einem bestimmten Zeitpunkt).

Der Punkt selbst ist nicht dimensional (d. h. es hat keine Abmessungen oder messbare Größe). Es ist Position ist das, was wichtig ist. Jeder Punkt, an den Sie denken können, jedes Atom im Raum, hat seinen eigenen einzigartigen Platz, der nur für sich selbst besetzt ist. Dieser Ort kann sich mit der Zeit ändern (das Flugzeug fliegt von A nach B), hat aber zu jedem Zeitpunkt einen einzigartigen Ort. Jeder Punkt hat eine Adresse, die als its bezeichnet wird Koordinaten , die seine Position relativ zu einem anderen beschreibt bekannt Standort.



Auf einer zweidimensionalen Ebene kann ein Punkt durch a beschrieben werden Koordinatenpaar , innerhalb eines Koordinatensystem wie (x, y). In einem dreidimensionalen Raum kann ein Punkt durch drei Koordinaten beschrieben werden, z. (x, y, z). Die häufigsten Koordinatensysteme, auf die Sie wahrscheinlich stoßen, sind Kartesische Koordinatensysteme . Diese werden verwendet, wenn die Ebene, Oberfläche oder der Raum in flachen, rechteckigen Abmessungen beschrieben werden können (wie ein Kasten oder ein quadratisches Gitter).



Wo es jedoch gibt gebogen Für Linien, Flächen und Räume ist es erforderlich, ein System zu verwenden, das aus Kreisformen abgeleitet ist. Weitere Informationen hierzu finden Sie auf unserer Seite unter polare, sphärische oder zylindrische Koordinatensysteme .

Zweidimensionale kartesische Koordinaten

Ein kartesisches Koordinatensystem auf einer zweidimensionalen Ebene wird durch zwei senkrechte Achsen definiert.

Mit anderen Worten, zwei Linien, die auf einer ebenen Fläche rechtwinklig zueinander gezeichnet sind (z. B. ein flaches Blatt Papier, eine dünne Glasscheibe oder die Fläche eines Fußballfeldes), liefern ein Referenzgitter für jeden Punkt auf dieser Fläche. Möglicherweise wird dieser Systemtyp auch als a bezeichnet rechteckig oder senkrecht Koordinatensystem, weil die Referenzachsen senkrecht sind.

die kommunikatorrolle umfasst verhalten, das

Ein typisches kartesisches Koordinatensystem wird durch die x- und y-Achse definiert. Jede Achse hat eine Längen- oder Entfernungseinheit (z. B. Meter oder Meilen). Jeder Punkt innerhalb des Koordinatensystems wird durch einen Abstand relativ zur x- und y-Achse (x, y) beschrieben. Die Achsen kreuzen sich an dem Punkt, an dem der Wert von x und y Null ist. das nennt man der Ursprung (0,0) .



Das folgende Beispiel zeigt die Koordinaten von fünf verschiedenen Punkten innerhalb eines zweidimensionalen kartesischen Systems, wobei die Achsen üblicherweise als x (horizontal) und y (vertikal) bezeichnet werden. Jeder der fünf Punkte wird durch zwei Zahlen definiert, von denen der erste der Abstand senkrecht zur y-Achse (sein x-Wert) und der zweite der Abstand senkrecht zur x-Achse (sein y-Wert) ist. Notiere dass der Richtung vom Ursprung ist ebenfalls wichtig, da dies bestimmt, ob die Werte von x und y positiv oder negativ sind.

Beispiele für kartesische Koordinaten

Wenn Sie auf ein Diagramm wie das obige stoßen, beispielsweise eine Karte oder eine Sammlung von Daten, müssen Sie wahrscheinlich eines von zwei Dingen tun:

  • Entweder Sie haben einen Punkt auf einem Diagramm und müssen dessen Koordinaten bestimmen.
  • Oder Sie haben die Koordinaten und müssen die Position des Punktes ermitteln.

Bestimmen der Koordinaten eines Punktes

Berücksichtigen Sie, um die Koordinaten eines Punkts zu bestimmen Punkt A. im Diagramm (im positiven x- und y-Quadranten oder Quadranten 1 rot markiert). Messen Sie zunächst, wie weit es entlang der x-Achse vom Ursprung entfernt ist, d. H. Seinen senkrechten Abstand von der y-Achse. Dadurch erhalten Sie Ihre x-Koordinate mit dem Wert 2. Messen Sie anschließend, wie weit der Punkt entlang der y-Achse in senkrechter Richtung von der x-Achse entfernt ist. Dies gibt Ihre y-Koordinate an, die einen Wert von 3 hat.



Die Koordinaten von Punkt A. sind daher (2,3).

Ermitteln der Position eines Punkts anhand seiner Koordinaten

In der zweiten Instanz erhalten Sie möglicherweise die Koordinaten (–5,5, –1,5) und müssen die Position dieses Punkts in der Grafik oder Karte ermitteln. In diesem Fall fahren Sie zuerst entlang der negativen x-Achse, bis Sie den Wert –5,5 erreichen. Bewegen Sie sich dann von dieser Position aus in einer senkrechten Richtung - 1,5 Einheiten, d. H. 1,5 Einheiten parallel zur negativen y-Achse, und markieren Sie Ihren Punkt. Alternativ können Sie eine vertikale Linie bei x = –5,5 und eine horizontale Linie bei y = –1,5 zeichnen.

Wo sich die beiden Linien schneiden, befindet sich der Punkt (−5.5, −1.5), der im Diagramm als dargestellt ist Punkt B. in Quadrant 3.



Warnung! Reihenfolge ist signifikant!


Beim Lesen oder Schreiben von Koordinaten ist es sehr wichtig dass sie immer in der Reihenfolge x, y sind. Wenn Sie Quadrant 1 im Diagramm betrachten, können Sie das sehen Punkt A. (2,3) befindet sich an einer völlig anderen Stelle als Punkt (3,2)!

Koordinatenachsen: Eine wichtige Konvention

Kartesische Koordinatensysteme haben oft Achsen mit den Bezeichnungen x und y, aber das ist nicht immer der Fall. Es ist jedoch wichtig, klar voneinander zu unterscheiden, da Punkt (x, y) nicht mit Punkt (y, x) identisch ist.

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die horizontale (x) Achse als bezeichnet Abszisse und die vertikale (y) Achse wird als bezeichnet Ordinate . Die Abszisse und die Ordinate sind die erste und zweite Koordinate eines beliebigen Punktes im Koordinatensystem, unabhängig davon, ob die Achsen mit x und y oder etwas anderem bezeichnet sind.

Wenn Sie es schwierig finden, sich daran zu erinnern, welche der Achsen die ist ZU bscissa oder ODER Denken Sie daran, dass im Alphabet, x kommt vor y und A kommt vor O. . Sie können sich auch vorstellen, zu gehen ZU lang den Korridor dann die Treppe hoch!



Dreidimensionale kartesische Koordinaten

In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem muss die Position des Punktes im Raum durch drei Koordinaten beschrieben werden, typischerweise (x, y, z). In einem zweidimensionalen System liegt der Punkt irgendwo auf einer flachen Ebene. Eine Ebene hat jedoch nur eine Länge und eine Breite, während ein dreidimensionaler Raum auch eine Höhe oder Tiefe haben muss. In diesem Fall können Sie sich vorstellen, dass sich der Punkt irgendwo in einem rechteckigen Feld befindet.

Die ersten beiden Koordinaten x und y werden auf die gleiche Weise wie in einem zweidimensionalen System bestimmt. Diese beschreiben die Position des Punktes, wenn er rechtwinklig nach unten (oder oben) auf die x-y-Ebene projiziert wurde. Stellen Sie sich vor, Sie halten einen Ball in der Hand und strecken den Arm auf Schulterhöhe aus, um die Visualisierung zu vereinfachen. Der Ball ist dein Punkt. Wenn Sie den Ball fallen lassen, springt er unmittelbar unter der Position Ihrer Hand auf den Boden. Wenn der Boden die x-y-Ebene ist, ist der Punkt, an dem der Ball springt, die Koordinate des Punktes (x, y).

Das dreidimensionale System hat auch eine z-Achse, die senkrecht zur x-y-Ebene liegt. Die Position über dem Boden, an der Sie den Ball gehalten haben, ist seine z-Koordinate. Der Ursprung eines dreidimensionalen kartesischen Systems ist der Punkt, an dem x, y und z alle gleich Null (0,0,0) sind.

In mathematischen Begriffen ein Punkt P. in einem typischen dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem ist in der folgenden Abbildung dargestellt. P. entspricht dem Ball in unserem Beispiel.

Dreidimensionale kartesische Koordinaten

Es ist unwahrscheinlich, dass Sie im Alltag kartesische 3D-Koordinatensysteme verwenden müssen, es sei denn, Sie beschäftigen sich mit Ingenieurwesen, Physik, Architektur oder anderen Anwendungen des computergestützten Entwurfs. Es ist jedoch hilfreich zu verstehen, wie sie funktionieren. Viele 3D-Konstruktions- und Zeichnungspakete, die zu Hause verwendet werden, arbeiten nach diesen Prinzipien. Daher sind Grundkenntnisse der räumlichen Geometrie oft hilfreich, um sie erfolgreich einzusetzen.


Anwendungen kartesischer Koordinaten

Verwendung kartesischer Koordinaten beim Erstellen von Graphen algebraischer Gleichungen

In der Mathematik wird es Zeiten geben, in denen es notwendig ist, einen Graphen aus einer algebraischen Gleichung zu zeichnen, um seine Eigenschaften vollständig zu verstehen und zu interpretieren. Eine Gleichung in der Form (y ) = ƒ ( (x )), ( (y ) als Funktion von (x )) kann auf kartesischen Koordinaten gezeichnet werden. Für jeden Wert von (x ) können Sie den Wert von (y ) aus der Gleichung bestimmen und daher kann jeder Punkt im Diagramm ( (x ), (y )) aufgezeichnet werden.

Das folgende Diagramm zeigt die Kennlinie der quadratischen Gleichung

$$ y = x ^ 2 + 9x + 20 $$

wie man einen durchschnitt berechnet
Graph der Gleichung y = x ^ 2 + 9x + 20
Weitere Informationen finden Sie auf unseren Seiten unter Grafiken und Diagramme und Quadratische Gleichungen .

Anwenden kartesischer Koordinaten, um Lesefähigkeiten abzubilden

Stellen Sie sich vor, ein Freund sagt

„Wir werden uns auf dem Parkplatz an der B4437 treffen und dann zum Mittagessen zum Picknickplatz gehen. Wir können später in die Kneipe fahren. Es ist das an der Straße - wenn du die Kirche erreichst, bist du zu weit gegangen! '

Einfache Karte, die Northings und Eastings zeigt, um Koordinaten zu demonstrieren.

Die obige Abbildung zeigt eine vereinfachte Karte des Gebiets.

Heutzutage können Sie dank Satellitennavigation und mobilen Anwendungen wie Google Maps praktisch überall hin gelangen. Es ist jedoch immer noch sehr nützlich, Kartenlesefähigkeiten zu haben. Möglicherweise befinden Sie sich in einer Situation, in der kein Mobilfunksignal vorhanden ist oder der Akku leer ist.

Jeder Kartentyp hat eine Schlüssel Dies ist eine Liste aller auf der Karte verwendeten Symbole und deren Bedeutung sowie ein nummeriertes Raster, das für diesen Bereich eindeutig ist. Die Ordnance Survey in Großbritannien ist einer der bekanntesten Kartenhersteller der Welt. Jeder vom Betriebssystem zugeordnete Speicherort ist eindeutig Gitter Referenz , das ist seine Koordinaten . Unabhängig davon, ob es sich um eine Windmühle in Norfolk oder um einen Triangulationspunkt auf einem schottischen Berg handelt, können Sie ihn auf einer Karte finden, wenn Sie eine Gitterreferenz haben.

wie findet man das volumen einer form

Koordinaten auf einer Karte sind entweder vierstellige oder sechsstellige Gitterreferenzen. Die kartesische x-Achse wird durch ersetzt eastings und die y-Achse durch Northings . Die Koordinaten eines Punktes werden auf die gleiche Weise wie in einem kartesischen System gefunden - entlang des Korridors und die Treppe hinauf !

ZU vierstellige Gitterreferenz gibt das Quadrat auf der Karte an, das den Ort enthält. Die Koordinaten sind der Punkt in der unteren linken Ecke des Quadrats. Zum Beispiel finden Sie Ihren Parkplatz um 1947 und die Kneipe um 2145.

Aber was ist, wenn wir eine viel genauere Beschreibung des Standorts benötigen? In diesem Beispiel müssten Sie den genauen Standort des Picknickplatzes kennen, da dieser in einiger Entfernung vom Parkplatz und der Straße liegt. In diesem Fall benötigen Sie eine sechsstellige Gitterreferenz.

ZU sechsstellige Gitterreferenz wird erhalten, indem man sich vorstellt, dass jedes Quadrat des Gitters in zehn Unterteilungen unterteilt ist, wie Einheiten auf einem Millimeterpapier. Die vierstellige Gitterreferenz für den Picknickplatz lautet 2048, aber durch Hinzufügen der Zehntelzahl zu 20 und 48 können wir eine genauere Beschreibung des Ortes finden.

Wenn Sie zuerst den Osten betrachten, sehen Sie, dass der Picknickplatz zwischen 20 und 21 nur knapp auf halber Strecke liegt, was Sie auf etwa 20,4 oder vier Zehntel von 20 schätzen können. Die ersten drei Ziffern Ihrer Gitterreferenz sind daher geschrieben 203. Wenn Sie sich die Nordpunkte ansehen, können Sie sehen, dass der Standort ungefähr ein Drittel des Weges zwischen 48 und 49 liegt, also sind die zweiten drei Ziffern 483. Der Picknickplatz befindet sich daher bei 203483.

Versuchen Sie, die Gitterreferenz für die Kirche zu finden.

Die Antwort lautet 218447.


Fazit

Die wichtigste Eigenschaft eines Punktes auf einer Oberfläche oder im 3D-Raum ist seine genaue Position. Dies kann unter Verwendung eines Koordinatensystems wie dem kartesischen System gemessen werden.

Das Verständnis der Funktionsweise von Koordinatensystemen hilft Ihnen beim Zeichnen von Diagrammen mathematisch und kann auch verhindern, dass Sie verloren gehen, wenn Sie eine Karte dabei haben.


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Polare, zylindrische und sphärische Koordinaten
Fläche berechnen